Страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения — $90^\circ$. Найдите объем конуса.

Для нахождения объема конуса используется формула:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$,где $V$ – объем конуса, $R$ – радиус основания, а $H$ – высота конуса.

Из условия задачи известно, что диаметр основания конуса $d = 12 \text{ см}$. Радиус основания $R$ равен половине диаметра:$R = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$.

Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса. Угол при вершине этого треугольника, согласно условию, равен $90^\circ$. Это означает, что осевое сечение является прямоугольным равнобедренным треугольником.

Высота конуса $H$ совпадает с высотой осевого сечения, проведенной из вершины с прямым углом к основанию (которое является гипотенузой). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. В свою очередь, медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна половине длины гипотенузы.

Следовательно, высота конуса $H$ равна половине диаметра основания $d$:$H = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$.

Теперь, подставив найденные значения радиуса $R = 6 \text{ см}$ и высоты $H = 6 \text{ см}$ в формулу для объема конуса, получаем:$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi \cdot (6 \text{ см})^2 \cdot 6 \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = \pi \cdot 12 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 72\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $72\pi \text{ см}^3$.

16.10. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площадью $9\text{ см}^2$. Найдите объем конуса.

Осевым сечением конуса является треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса $d$, а высота — высоте конуса $h$. Радиус основания конуса $r$ связан с диаметром как $d = 2r$.

Площадь осевого сечения $S$ можно вычислить по формуле площади треугольника:$S = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = rh$.

Согласно условию задачи, осевое сечение — это равнобедренный прямоугольный треугольник. В таком треугольнике прямой угол находится при вершине конуса. Высота конуса $h$, проведенная из вершины прямого угла к основанию (диаметру $d$), является также медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, высота конуса равна радиусу его основания:$h = \frac{d}{2} = r$.

Теперь мы можем подставить соотношение $h = r$ в формулу для площади осевого сечения:$S = r \cdot h = r \cdot r = r^2$.

Из условия известно, что площадь сечения $S = 9 \text{ см}^2$. Используем это для нахождения радиуса:$r^2 = 9$$r = 3 \text{ см}$.

Так как $h = r$, то высота конуса также равна $h = 3 \text{ см}$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.

Подставим найденные значения $r = 3 \text{ см}$ и $h = 3 \text{ см}$ в формулу объема:$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $9\pi \text{ см}^3$

Треугольник площадью $3 \text{ см}$. Найдите объем конуса.

16.11. Равносторонний треугольник со стороной $1 \text{ см}$ вращается вокруг прямой, содержащей его высоту. Найдите объем тела вращения.

16.11. При вращении равностороннего треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту, образуется тело вращения, которое является конусом. Высота этого конуса $h$ совпадает с высотой треугольника, а радиус основания конуса $r$ равен половине стороны треугольника.

По условию задачи, сторона равностороннего треугольника $a = 1$ см.

1. Найдем радиус основания конуса $r$. Так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой, она делит основание пополам. Следовательно, радиус основания конуса равен половине стороны треугольника:
$r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

2. Найдем высоту конуса $h$. Высоту равностороннего треугольника можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ или с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного стороной $a$ (гипотенуза), высотой $h$ (катет) и половиной основания $r$ (катет):
$h^2 + r^2 = a^2$
$h = \sqrt{a^2 - r^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Теперь найдем объем конуса по формуле:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$
Подставим найденные значения $r$ и $h$:
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot (\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

16.12. Два конуса получены от вращения неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг каждого из катетов. Равны ли объемы этих конусов?

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Согласно условию, треугольник является неравнобедренным, что означает, что длины его катетов не равны друг другу, то есть $a \neq b$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется тело вращения — конус. Рассмотрим два конуса, полученных при вращении треугольника вокруг каждого из катетов.

1. Если вращать треугольник вокруг катета длиной $a$, то этот катет будет являться высотой первого конуса $H_1 = a$. Другой катет, длиной $b$, станет радиусом основания этого конуса $R_1 = b$. Объем первого конуса $V_1$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставив значения, получим:$V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$.

2. Если вращать треугольник вокруг катета длиной $b$, то он будет высотой второго конуса $H_2 = b$. Катет длиной $a$ в этом случае станет радиусом основания $R_2 = a$. Объем второго конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Теперь сравним полученные объемы $V_1$ и $V_2$. Для того чтобы объемы были равны, должно выполняться равенство $V_1 = V_2$:$\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Так как $a$ и $b$ — это длины катетов, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{3}\pi ab$:$b = a$.

Полученное равенство $a = b$ означает, что объемы конусов равны только в том случае, если равны катеты прямоугольного треугольника. Однако это прямо противоречит условию задачи, где указано, что треугольник неравнобедренный ($a \neq b$). Таким образом, объемы рассматриваемых конусов не равны.

Ответ: Нет, объемы этих конусов не равны.

16.13. Объем конуса равен $1 \text{ см}^3$. Его высота разделена на три равные части, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости. Найдите объем средней части конуса.

Пусть объем исходного конуса равен $V$, а его высота — $H$. По условию задачи, $V = 1$ см³.

Высота конуса разделена на три равные части. Это означает, что через точки деления, находящиеся на высоте $\frac{1}{3}H$ и $\frac{2}{3}H$ от вершины, проведены плоскости, параллельные основанию.

Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, которые подобны исходному. Обозначим их как малый конус (верхняя часть) и средний конус (верхняя и средняя части вместе).

1. Рассмотрим малый конус, отсекаемый верхней плоскостью. Его высота $h_1 = \frac{1}{3}H$. Коэффициент подобия этого конуса исходному равен $k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{1}{3}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно, объем малого конуса $V_1$ относится к объему исходного конуса $V$ как $k_1^3$:

$\frac{V_1}{V} = k_1^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Отсюда находим объем малого конуса:

$V_1 = \frac{1}{27}V = \frac{1}{27} \times 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{27}$ см³.

2. Рассмотрим средний конус, который включает в себя верхнюю и среднюю части. Его высота $h_2 = \frac{2}{3}H$. Коэффициент подобия этого конуса исходному равен $k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{2}{3}$.

Аналогично, найдем объем этого конуса $V_2$:

$\frac{V_2}{V} = k_2^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Отсюда находим объем среднего конуса:

$V_2 = \frac{8}{27}V = \frac{8}{27} \times 1 \text{ см}^3 = \frac{8}{27}$ см³.

3. Искомый объем средней части конуса представляет собой объем усеченного конуса. Его можно найти как разность объемов среднего конуса ($V_2$) и малого конуса ($V_1$).

$V_{средняя} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$ см³.

Ответ: $\frac{7}{27}$ см³.

16.14. Воду, заполняющую всю коническую колбу высотой 12 см, перелили в цилиндрический сосуд, радиус основания которого равен радиусу окружности конической колбы (рис. 16.5). На какой высоте от основания цилиндрического сосуда будет находиться поверхность воды?

Рис. 16.5

16.14. Пусть $H_к$ и $R_к$ — высота и радиус основания конической колбы соответственно, а $H_в$ и $R_ц$ — высота уровня воды и радиус основания цилиндрического сосуда. По условию задачи, вода заполняет всю коническую колбу, высота которой $H_к = 12$ см. Объем воды равен объему конической колбы, который вычисляется по формуле:$V_к = \frac{1}{3} \pi R_к^2 H_к$.После того как воду перелили в цилиндрический сосуд, ее объем не изменился. Объем воды в цилиндрическом сосуде определяется по формуле объема цилиндра:$V_в = \pi R_ц^2 H_в$.По условию задачи, радиус основания цилиндрического сосуда равен радиусу основания конической колбы, то есть $R_ц = R_к$. Обозначим этот радиус как $R$.Поскольку объем воды остался прежним, мы можем приравнять объемы $V_к$ и $V_в$:$\frac{1}{3} \pi R^2 H_к = \pi R^2 H_в$.Сократим обе части уравнения на $\pi R^2$ (так как радиус основания не может быть равен нулю):$\frac{1}{3} H_к = H_в$.Теперь подставим известное значение высоты конической колбы $H_к = 12$ см, чтобы найти высоту воды в цилиндрическом сосуде $H_в$:$H_в = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см} = 4 \text{ см}$.Ответ: 4 см.

16.15. Радиусы оснований усеченного конуса равны 6 см и 2 см, образующая равна 5 см. Найдите объем этого усеченного конуса.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема усеченного конуса: $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $R$ — радиус большего основания, $r$ — радиус меньшего основания, а $h$ — высота конуса.

Из условия задачи нам известны радиусы оснований $R = 6$ см и $r = 2$ см, а также образующая $l = 5$ см. Высота $h$ неизвестна. Ее можно найти, рассмотрев осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобокой трапецией. Если в этой трапеции провести высоту из вершины меньшего основания к большему, то образуется прямоугольный треугольник. В этом треугольнике гипотенуза — это образующая $l$, один катет — это высота $h$, а второй катет — это разность радиусов оснований $R-r$.

Применим теорему Пифагора: $l^2 = h^2 + (R - r)^2$.

Сначала найдем разность радиусов:

$R - r = 6 - 2 = 4$ см.

Теперь подставим известные значения в теорему Пифагора и найдем высоту $h$:

$5^2 = h^2 + 4^2$

$25 = h^2 + 16$

$h^2 = 25 - 16$

$h^2 = 9$

$h = \sqrt{9} = 3$ см.

Теперь, когда все величины известны, вычислим объем усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (6^2 + 6 \cdot 2 + 2^2)$

$V = \pi (36 + 12 + 4) = \pi \cdot 52 = 52\pi$ см³.

Ответ: $52\pi$ см³.

16.16. Равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см и 6 см, а высота — 3 см, вращается относительно оси, проходящей через середины оснований. Найдите объем тела вращения.

При вращении равнобедренной трапеции относительно оси, проходящей через середины ее оснований, образуется тело вращения, которое называется усеченным конусом.

Параметры этого усеченного конуса можно определить из данных задачи:

1. Высота усеченного конуса $H$ равна высоте трапеции $h$. По условию, $H = h = 3$ см.

2. Радиус большего основания усеченного конуса $R$ равен половине длины большего основания трапеции. Так как большее основание равно 6 см, то $R = \frac{6}{2} = 3$ см.

3. Радиус меньшего основания усеченного конуса $r$ равен половине длины меньшего основания трапеции. Так как меньшее основание равно 4 см, то $r = \frac{4}{2} = 2$ см.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим известные значения в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot (3^2 + 3 \cdot 2 + 2^2)$

Выполним вычисления:

$V = \pi \cdot (9 + 6 + 4)$

$V = \pi \cdot 19$

$V = 19\pi$ см$^3$

Ответ: $19\pi$ см$^3$.

16.17. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух конусов, при которых эти конусы подобны. Как относятся объемы этих конусов?

Условия подобия двух конусов

Два конуса являются подобными, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих. Пусть у первого конуса радиус основания $r_1$ и образующая $l_1$, а у второго конуса — радиус $r_2$ и образующая $l_2$. Условие подобия выглядит так:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2}$

Это условие следует из подобия осевых сечений конусов, которые представляют собой равнобедренные треугольники. Если отношение боковых сторон ($l_1/l_2$) равно отношению оснований ($2r_1/2r_2$), то треугольники подобны, а значит, и конусы подобны. Из этого условия также следует, что отношение высот конусов ($h_1/h_2$) будет таким же, так как высота, радиус и образующая связаны теоремой Пифагора: $h = \sqrt{l^2-r^2}$.

Ответ: Два конуса подобны, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2}$.

Отношение объемов подобных конусов

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Пусть $k$ — коэффициент подобия двух конусов, равный отношению их соответствующих линейных размеров: $k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{h_1}{h_2}$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$ двух подобных конусов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Подставим коэффициент подобия $k$:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных конусов равно кубу коэффициента их подобия. Если коэффициент подобия равен $k$, то $\frac{V_1}{V_2} = k^3$. Это также можно выразить через отношение радиусов или образующих: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^3$.

16.18. Найдите объем юрты (рис. 16.6) в форме цилиндра с поставленным на него усеченным конусом, диаметр основания цилиндра равен 5 м, диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, а высоты цилиндра и усеченного конуса равны 2 м.

Рис. 16.6

Для нахождения объема юрты необходимо сложить объемы двух ее составных частей: цилиндрической основы и крыши в форме усеченного конуса.

Сначала найдем объем цилиндрической части. Формула для объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота. Диаметр основания цилиндра по условию равен 5 м, следовательно, радиус $R$ составляет:

$R = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Высота цилиндра $h_{цил}$ равна 2 м. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$V_{цил} = \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 2 = \pi \cdot 6.25 \cdot 2 = 12.5\pi \text{ м}^3$

Теперь найдем объем крыши, которая имеет форму усеченного конуса. Формула для объема усеченного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi h(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)$, где $h$ — высота, $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований. Диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, значит, их радиусы равны $R_1 = \frac{5}{2} = 2.5$ м и $R_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ м. Высота усеченного конуса $h_{кон}$ также равна 2 м. Вычислим его объем:

$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi \cdot 2 \cdot ((2.5)^2 + 2.5 \cdot 0.5 + (0.5)^2) = \frac{2}{3}\pi (6.25 + 1.25 + 0.25) = \frac{2}{3}\pi \cdot 7.75 = \frac{15.5}{3}\pi = \frac{31}{6}\pi \text{ м}^3$

Общий объем юрты $V_{юрта}$ равен сумме объемов цилиндра и усеченного конуса:

$V_{юрта} = V_{цил} + V_{кон} = 12.5\pi + \frac{31}{6}\pi$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$V_{юрта} = \frac{25}{2}\pi + \frac{31}{6}\pi = \frac{75}{6}\pi + \frac{31}{6}\pi = \frac{75 + 31}{6}\pi = \frac{106}{6}\pi = \frac{53}{3}\pi \text{ м}^3$

Ответ: $\frac{53}{3}\pi \text{ м}^3$.