Номер 16.12, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.12. Два конуса получены от вращения неравнобедренного прямоугольного треугольника вокруг каждого из катетов. Равны ли объемы этих конусов?

Пусть дан неравнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Согласно условию, треугольник является неравнобедренным, что означает, что длины его катетов не равны друг другу, то есть $a \neq b$.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется тело вращения — конус. Рассмотрим два конуса, полученных при вращении треугольника вокруг каждого из катетов.

1. Если вращать треугольник вокруг катета длиной $a$, то этот катет будет являться высотой первого конуса $H_1 = a$. Другой катет, длиной $b$, станет радиусом основания этого конуса $R_1 = b$. Объем первого конуса $V_1$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$. Подставив значения, получим:$V_1 = \frac{1}{3}\pi R_1^2 H_1 = \frac{1}{3}\pi b^2 a$.

2. Если вращать треугольник вокруг катета длиной $b$, то он будет высотой второго конуса $H_2 = b$. Катет длиной $a$ в этом случае станет радиусом основания $R_2 = a$. Объем второго конуса $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3}\pi R_2^2 H_2 = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Теперь сравним полученные объемы $V_1$ и $V_2$. Для того чтобы объемы были равны, должно выполняться равенство $V_1 = V_2$:$\frac{1}{3}\pi b^2 a = \frac{1}{3}\pi a^2 b$.

Так как $a$ и $b$ — это длины катетов, они являются положительными числами ($a > 0$ и $b > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части равенства на общий множитель $\frac{1}{3}\pi ab$:$b = a$.

Полученное равенство $a = b$ означает, что объемы конусов равны только в том случае, если равны катеты прямоугольного треугольника. Однако это прямо противоречит условию задачи, где указано, что треугольник неравнобедренный ($a \neq b$). Таким образом, объемы рассматриваемых конусов не равны.

Ответ: Нет, объемы этих конусов не равны.