Номер 16.18, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.18. Найдите объем юрты (рис. 16.6) в форме цилиндра с поставленным на него усеченным конусом, диаметр основания цилиндра равен 5 м, диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, а высоты цилиндра и усеченного конуса равны 2 м.

Рис. 16.6

Для нахождения объема юрты необходимо сложить объемы двух ее составных частей: цилиндрической основы и крыши в форме усеченного конуса.

Сначала найдем объем цилиндрической части. Формула для объема цилиндра: $V_{цил} = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота. Диаметр основания цилиндра по условию равен 5 м, следовательно, радиус $R$ составляет:

$R = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2.5 \text{ м}$

Высота цилиндра $h_{цил}$ равна 2 м. Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$V_{цил} = \pi \cdot (2.5)^2 \cdot 2 = \pi \cdot 6.25 \cdot 2 = 12.5\pi \text{ м}^3$

Теперь найдем объем крыши, которая имеет форму усеченного конуса. Формула для объема усеченного конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi h(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2)$, где $h$ — высота, $R_1$ и $R_2$ — радиусы оснований. Диаметры оснований усеченного конуса равны 5 м и 1 м, значит, их радиусы равны $R_1 = \frac{5}{2} = 2.5$ м и $R_2 = \frac{1}{2} = 0.5$ м. Высота усеченного конуса $h_{кон}$ также равна 2 м. Вычислим его объем:

$V_{кон} = \frac{1}{3}\pi \cdot 2 \cdot ((2.5)^2 + 2.5 \cdot 0.5 + (0.5)^2) = \frac{2}{3}\pi (6.25 + 1.25 + 0.25) = \frac{2}{3}\pi \cdot 7.75 = \frac{15.5}{3}\pi = \frac{31}{6}\pi \text{ м}^3$

Общий объем юрты $V_{юрта}$ равен сумме объемов цилиндра и усеченного конуса:

$V_{юрта} = V_{цил} + V_{кон} = 12.5\pi + \frac{31}{6}\pi$

Приведем слагаемые к общему знаменателю:

$V_{юрта} = \frac{25}{2}\pi + \frac{31}{6}\pi = \frac{75}{6}\pi + \frac{31}{6}\pi = \frac{75 + 31}{6}\pi = \frac{106}{6}\pi = \frac{53}{3}\pi \text{ м}^3$

Ответ: $\frac{53}{3}\pi \text{ м}^3$.