Номер 16.20, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.20. Единичный квадрат вращается вокруг прямой, содержащей его диагональ. Найдите объем тела вращения.

При вращении квадрата вокруг его диагонали образуется тело вращения, состоящее из двух одинаковых конусов, которые соединены своими основаниями. Диагональ квадрата является общей высотой этих двух конусов, разделенной пополам, а также осью вращения.

1. Сначала найдем размеры этих конусов. Нам дан единичный квадрат, значит, его сторона $a=1$.

2. Длину диагонали $d$ квадрата найдем по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

3. Тело вращения состоит из двух конусов. Высота каждого конуса $H$ равна половине длины диагонали квадрата. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, $H = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Радиус основания каждого конуса $R$ также равен половине длины диагонали (это расстояние от вершины квадрата, не лежащей на оси вращения, до этой оси). Таким образом, $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

5. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

6. Так как тело вращения состоит из двух одинаковых конусов, его общий объем $V$ будет равен удвоенному объему одного конуса:$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

7. Подставим значения $R$ и $H$ в формулу:$V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{12} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.