Номер 16.17, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.17. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух конусов, при которых эти конусы подобны. Как относятся объемы этих конусов?

Условия подобия двух конусов

Два конуса являются подобными, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих. Пусть у первого конуса радиус основания $r_1$ и образующая $l_1$, а у второго конуса — радиус $r_2$ и образующая $l_2$. Условие подобия выглядит так:

$\frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2}$

Это условие следует из подобия осевых сечений конусов, которые представляют собой равнобедренные треугольники. Если отношение боковых сторон ($l_1/l_2$) равно отношению оснований ($2r_1/2r_2$), то треугольники подобны, а значит, и конусы подобны. Из этого условия также следует, что отношение высот конусов ($h_1/h_2$) будет таким же, так как высота, радиус и образующая связаны теоремой Пифагора: $h = \sqrt{l^2-r^2}$.

Ответ: Два конуса подобны, если отношение радиусов их оснований равно отношению их образующих: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2}$.

Отношение объемов подобных конусов

Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Пусть $k$ — коэффициент подобия двух конусов, равный отношению их соответствующих линейных размеров: $k = \frac{r_1}{r_2} = \frac{l_1}{l_2} = \frac{h_1}{h_2}$.

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$ двух подобных конусов:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}\pi r_1^2 h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2 h_1}{r_2^2 h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Подставим коэффициент подобия $k$:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Ответ: Отношение объемов двух подобных конусов равно кубу коэффициента их подобия. Если коэффициент подобия равен $k$, то $\frac{V_1}{V_2} = k^3$. Это также можно выразить через отношение радиусов или образующих: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{l_1}{l_2}\right)^3$.