Номер 16.23, страница 96 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.23. Повторите определение шара и принцип Кавальери.

Определение шара

Шар — это пространственное геометрическое тело, представляющее собой совокупность всех точек пространства, находящихся от заданной точки (называемой центром шара) на расстоянии, не превышающем заданное положительное число (называемое радиусом шара).

Другими словами, если точка $O$ — центр шара, а $R$ — его радиус ($R > 0$), то шар состоит из всех точек пространства $M$, для которых выполняется неравенство $OM \le R$.

Поверхность, ограничивающая шар, называется сферой. Все точки сферы находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу, от центра шара ($OM = R$). Таким образом, шар — это часть пространства, ограниченная сферой, включая саму сферу.

Шар также можно получить путем вращения полукруга или круга вокруг его диаметра.

Основные формулы, связанные с шаром:
1. Объем шара радиуса $R$ вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
2. Площадь поверхности шара (то есть площадь сферы) радиуса $R$ вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$.

Ответ:

Принцип Кавальери

Принцип Кавальери (названный в честь итальянского математика XVII века Бонавентуры Кавальери) — это метод для нахождения объемов (в трехмерном пространстве) и площадей (в двумерном пространстве). Он также известен как "метод неделимых".

Формулировка для объемов (наиболее распространенная):
Если два пространственных тела можно поместить между двумя параллельными плоскостями так, что всякая плоскость, параллельная этим двум, пересекает оба тела по фигурам с равными площадями, то объемы этих двух тел равны.

Идея принципа заключается в том, что если мы "нарезаем" два тела на бесконечно тонкие параллельные слои, и площадь каждого слоя одного тела равна площади соответствующего слоя другого тела, то их суммарные объемы будут одинаковы. Простой наглядный пример — стопка монет. Ее объем не изменится, если сдвинуть часть монет в сторону, превратив прямой цилиндр в наклонный, так как площадь каждой монеты (слоя) и общая высота остаются прежними.

Этот принцип является мощным инструментом для вычисления объемов сложных фигур. Классическим примером его применения является вывод формулы объема шара. Объем полушария радиуса $R$ сравнивается с объемом тела, полученного из прямого кругового цилиндра (с радиусом основания $R$ и высотой $R$) путем удаления из него конуса (с вершиной в центре основания цилиндра и основанием, совпадающим с другим основанием цилиндра).

На произвольной высоте $h$ от основания ($0 \le h \le R$):
• Площадь сечения полушария — это круг, его площадь равна $S_1 = \pi(R^2 - h^2)$.
• Площадь сечения второго тела (цилиндр минус конус) — это кольцо, его площадь равна $S_2 = \pi R^2 - \pi h^2 = \pi(R^2 - h^2)$.

Поскольку площади сечений $S_1$ и $S_2$ равны на любой высоте $h$, то по принципу Кавальери объемы тел равны. Объем второго тела легко посчитать как разность объемов цилиндра и конуса: $V_{полушария} = V_{цилиндра} - V_{конуса} = \pi R^2 \cdot R - \frac{1}{3}\pi R^2 \cdot R = \frac{2}{3}\pi R^3$.
Соответственно, объем всего шара вдвое больше: $V_{шара} = 2 \cdot V_{полушария} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

В интегральной форме принцип утверждает, что если площади поперечных сечений двух тел $S_1(x)$ и $S_2(x)$ равны для всех $x$ на отрезке $[a, b]$, то их объемы равны: $V_1 = \int_a^b S_1(x)dx = \int_a^b S_2(x)dx = V_2$.

Ответ: