Номер 16.13, страница 95 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.13. Объем конуса равен $1 \text{ см}^3$. Его высота разделена на три равные части, и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости. Найдите объем средней части конуса.

Пусть объем исходного конуса равен $V$, а его высота — $H$. По условию задачи, $V = 1$ см³.

Высота конуса разделена на три равные части. Это означает, что через точки деления, находящиеся на высоте $\frac{1}{3}H$ и $\frac{2}{3}H$ от вершины, проведены плоскости, параллельные основанию.

Эти плоскости отсекают от исходного конуса два меньших конуса, которые подобны исходному. Обозначим их как малый конус (верхняя часть) и средний конус (верхняя и средняя части вместе).

1. Рассмотрим малый конус, отсекаемый верхней плоскостью. Его высота $h_1 = \frac{1}{3}H$. Коэффициент подобия этого конуса исходному равен $k_1 = \frac{h_1}{H} = \frac{1}{3}$.

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Следовательно, объем малого конуса $V_1$ относится к объему исходного конуса $V$ как $k_1^3$:

$\frac{V_1}{V} = k_1^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$

Отсюда находим объем малого конуса:

$V_1 = \frac{1}{27}V = \frac{1}{27} \times 1 \text{ см}^3 = \frac{1}{27}$ см³.

2. Рассмотрим средний конус, который включает в себя верхнюю и среднюю части. Его высота $h_2 = \frac{2}{3}H$. Коэффициент подобия этого конуса исходному равен $k_2 = \frac{h_2}{H} = \frac{2}{3}$.

Аналогично, найдем объем этого конуса $V_2$:

$\frac{V_2}{V} = k_2^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

Отсюда находим объем среднего конуса:

$V_2 = \frac{8}{27}V = \frac{8}{27} \times 1 \text{ см}^3 = \frac{8}{27}$ см³.

3. Искомый объем средней части конуса представляет собой объем усеченного конуса. Его можно найти как разность объемов среднего конуса ($V_2$) и малого конуса ($V_1$).

$V_{средняя} = V_2 - V_1 = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$ см³.

Ответ: $\frac{7}{27}$ см³.