Страница 101 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Единичный квадрат вращается вокруг прямой, содержащей его сторону. Найдите объем тела вращения:

А) $\pi$ см$^3$; B) $2\pi$ см$^3$; C) $3\pi$ см$^3$; D) $4\pi$ см$^3$.

Единичный квадрат — это квадрат со стороной, равной 1. Согласно условию, он вращается вокруг прямой, содержащей его сторону. В результате такого вращения образуется тело, которое представляет собой прямой круговой цилиндр.
Высота этого цилиндра $h$ будет равна стороне квадрата, которая лежит на оси вращения. Таким образом, $h = 1$.
Радиус основания цилиндра $R$ будет равен стороне квадрата, которая перпендикулярна оси вращения. Таким образом, $R = 1$.
Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi R^2 h$
Подставим значения радиуса и высоты в формулу. Поскольку варианты ответа даны в см³, будем считать, что сторона квадрата равна 1 см:
$V = \pi \cdot (1 \text{ см})^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \cdot 1 \text{ см}^2 \cdot 1 \text{ см} = \pi \text{ см}^3$
Таким образом, объем тела вращения равен $\pi \text{ см}^3$, что соответствует варианту А).
Ответ: A) $\pi \text{ см}^3$.

14. Развертка боковой поверхности цилиндра — квадрат со стороной равной 2 см. Найдите объем цилиндра:
A) $\frac{2}{\pi}$ см³;
B) $\frac{4}{\pi}$ см³;
C) $2\pi$ см³;
D) $4\pi$ см³.

По условию задачи, развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой квадрат со стороной $a = 2$ см. Развертка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра $h$, а другая — длине окружности его основания $C$.

Так как развертка является квадратом, его стороны равны. Следовательно, высота цилиндра равна длине окружности его основания:
$h = 2$ см
$C = 2$ см

Длина окружности основания $C$ вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — радиус основания. Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти радиус цилиндра.
$2 \pi r = 2$
Выразим радиус $r$:
$r = \frac{2}{2 \pi} = \frac{1}{\pi}$ см

Объем цилиндра $V$ находится по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.
Площадь круга (основания) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi r^2$.
Подставим наше значение радиуса $r = \frac{1}{\pi}$:
$S_{осн} = \pi \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi}$ см²

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем цилиндра:
$V = S_{осн} \cdot h = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}$ см³

Ответ: $\frac{2}{\pi}$ см³.

15. Равносторонний треугольник со стороной 2 см вращается вокруг прямой, содержащей его высоту. Найдите объем тела вращения:

A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³;

B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³;

C) $\frac{\pi}{3}$ см³;

D) $\pi\sqrt{3}$ см³.

Тело, полученное в результате вращения равностороннего треугольника вокруг прямой, содержащей его высоту, является конусом.

Найдем параметры этого конуса, исходя из данных задачи. Сторона равностороннего треугольника $a = 2$ см.

Радиус основания конуса ($r$) равен половине стороны основания треугольника. В равностороннем треугольнике высота является также и медианой, поэтому она делит основание пополам. $r = \frac{a}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Высота конуса ($h$) равна высоте равностороннего треугольника. Её можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота $h$ и радиус $r$, а гипотенузой — сторона треугольника $a$: $h^2 + r^2 = a^2$ $h^2 + 1^2 = 2^2$ $h^2 + 1 = 4$ $h^2 = 3$ $h = \sqrt{3}$ см.

Объем конуса ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Подставим найденные значения радиуса $r=1$ см и высоты $h=\sqrt{3}$ см в формулу: $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (1)^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

Этот результат соответствует варианту ответа A).

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³.

16. Найдите объем конуса, образующая которого равна 2 см и составляет угол $30^\circ$ с плоскостью основания этого конуса:

А) $\pi \text{ см}^3$;

В) $2\pi \text{ см}^3$;

С) $3\pi \text{ см}^3$;

D) $4\pi \text{ см}^3$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$, где $R$ — это радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

По условию задачи, образующая конуса $l$ равна 2 см и составляет угол $\alpha = 30°$ с плоскостью основания. Образующая ($l$), высота ($h$) и радиус основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус — катетами. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $l$ и катетом $R$.

Используя тригонометрические соотношения в этом прямоугольном треугольнике, мы можем найти высоту и радиус.

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу в $30°$. Следовательно:
$h = l \cdot \sin(\alpha) = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ см.

Радиус $R$ является катетом, прилежащим к углу в $30°$. Следовательно:
$R = l \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \cos(30°) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь подставим найденные значения $h$ и $R$ в формулу для объема конуса:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3})^2 \cdot 1 = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 1 = \pi$ см³.

Полученный объем соответствует варианту A.

Ответ: A) $\pi$ см³.

17. Разверткой боковой поверхности конуса служит круговой сектор радиусом 3 см и центральным углом 120°. Найдите объем конуса:
A) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см³; B) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$ см³; C) $\frac{2\pi}{3}$ см³; D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания конуса, а $h$ – его высота. Нам необходимо найти $r$ и $h$ из данных задачи.

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса ($L$), а длина дуги сектора ($C_{дуги}$) равна длине окружности основания конуса ($C_{осн}$).

Из условия задачи мы знаем, что радиус сектора, а значит и образующая конуса, $L = 3$ см. Центральный угол сектора $\alpha = 120^{\circ}$.

Сначала найдем длину дуги сектора. Формула для длины дуги: $C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi L$.Подставив наши значения, получаем: $C_{дуги} = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 6\pi = 2\pi$ см.

Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса, которая вычисляется по формуле $C_{осн} = 2 \pi r$. Следовательно, мы можем приравнять эти два значения: $2\pi = 2 \pi r$. Отсюда находим радиус основания конуса: $r = 1$ см.

Далее найдем высоту конуса $h$. Образующая $L$, радиус $r$ и высота $h$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ является гипотенузой. Согласно теореме Пифагора: $L^2 = r^2 + h^2$.Подставим известные значения: $3^2 = 1^2 + h^2$.$9 = 1 + h^2$.$h^2 = 9 - 1 = 8$.$h = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ см.

Теперь, когда у нас есть радиус основания и высота, мы можем вычислить объем конуса:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 1^2 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

Этот результат соответствует варианту D) в списке ответов.

Ответ: D) $\frac{2\pi\sqrt{2}}{3}$ см³.

18. Найдите объем усеченного конуса, осевым сечением которого является равнобедренная трапеция, основания которой равны 4 см, 2 см, а боковые стороны равны 2 см:

A) $\frac{4\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

B) $\frac{5\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

C) $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см³;

D) $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$ см³.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2)$, где $h$ — высота конуса, $R$ и $r$ — радиусы его большего и меньшего оснований соответственно.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Основания этой трапеции являются диаметрами оснований конуса. По условию, основания трапеции равны 4 см и 2 см. Следовательно, диаметры оснований конуса — $D = 4$ см и $d = 2$ см.

Найдем радиусы оснований:

Радиус большего основания: $R = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Радиус меньшего основания: $r = \frac{d}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Высота конуса $h$ равна высоте трапеции. Боковая сторона трапеции, равная 2 см, является образующей усеченного конуса $l$.

Для нахождения высоты $h$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции (катет), боковой стороной (гипотенуза $l=2$ см) и отрезком на большем основании (второй катет). Этот отрезок равен полуразности оснований трапеции.

Длина второго катета: $\frac{4-2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3$

$h = \sqrt{3}$ см.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для объема усеченного конуса:

$V = \frac{1}{3}\pi h (R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \sqrt{3} (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2)$

$V = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} (4 + 2 + 1) = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} \cdot 7 = \frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{3}}{3}\pi$ см$^3$.

19. Площадь поверхности шара равна 36 $cm^2$. Найдите объем этого шара:

A) $24\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

C) $48\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$;

D) $60\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ $cm^3$.

Для решения задачи нам понадобятся две основные формулы, связанные с шаром: формула площади поверхности и формула объема.

1. Нахождение радиуса шара.

Площадь поверхности шара ($S$) вычисляется по формуле: $S = 4\pi R^2$, где $R$ – это радиус шара.

Согласно условию задачи, площадь поверхности равна $36$ см². Подставим это значение в формулу:

$36 = 4\pi R^2$

Чтобы найти радиус, сначала выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi}$

Теперь найдем сам радиус $R$, извлекая квадратный корень из полученного выражения:

$R = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$ см.

2. Нахождение объема шара.

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим в эту формулу найденное нами значение радиуса $R = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3$

Сначала возведем радиус в третью степень:

$\left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^3 = \frac{3^3}{(\sqrt{\pi})^3} = \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{27}{\pi\sqrt{\pi}}$

Проведем сокращения: $\pi$ в числителе и знаменателе сокращаются, а также 27 и 3 (27 / 3 = 9).

$V = \frac{4 \cdot 9}{\sqrt{\pi}} = \frac{36}{\sqrt{\pi}}$

Чтобы привести ответ к виду, представленному в вариантах, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{\pi}$:

$V = \frac{36}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \frac{36\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом B).

Ответ: B) $36\frac{\sqrt{\pi}}{\pi}$ см³.

20. Найдите объем шара, описанного около цилиндра, осевым сечением
которого является единичный квадрат:

A) $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$;

B) $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$;

C) $\frac{\pi\sqrt{2}}{2}$;

D) $\frac{\pi\sqrt{3}}{2}$.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, образованный высотой цилиндра $h$ и диаметром его основания $d_{цил}$. По условию задачи, это сечение является единичным квадратом, то есть квадратом со стороной, равной 1. Следовательно, высота цилиндра $h = 1$ и диаметр его основания $d_{цил} = 1$.

Шар описан около цилиндра, а это значит, что цилиндр вписан в шар. Диаметр шара $D_{шара}$ в этом случае равен диагонали $d_{кв}$ осевого сечения цилиндра. Найдем диагональ единичного квадрата со стороной $a=1$ по теореме Пифагора:
$d_{кв} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Значит, диаметр шара $D_{шара} = \sqrt{2}$. Радиус шара $R_{шара}$ равен половине диаметра:
$R_{шара} = \frac{D_{шара}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Подставим в нее найденное значение радиуса:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi (R_{шара})^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{2})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}$.

Выполним упрощение выражения, сокращая числитель и знаменатель:
$V_{шара} = \frac{4 \cdot \pi \cdot 2\sqrt{2}}{3 \cdot 8} = \frac{8\pi\sqrt{2}}{24} = \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi\sqrt{2}}{3}$