Страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объем детали?

Пусть $V_1$ — начальный объём воды в сосуде, а $h_1$ — начальный уровень воды. По условию, $V_1 = 6$ литров.

Для цилиндрического сосуда объём жидкости прямо пропорционален её уровню. Это можно выразить формулой $V = S \cdot h$, где $S$ — площадь основания сосуда (которая является постоянной величиной), а $h$ — высота уровня жидкости. Таким образом, $V_1 = S \cdot h_1$.

После погружения детали в воду уровень жидкости поднялся в 1,5 раза. Обозначим новый уровень как $h_2$. Тогда $h_2 = 1.5 \cdot h_1$.

Объём погружённой детали равен объёму вытесненной ею жидкости. Объём вытесненной жидкости — это разница между конечным и начальным объёмами воды. Конечный объём воды и детали $V_2$ занимает высоту $h_2$, то есть $V_2 = S \cdot h_2$.

Объём детали $V_{детали}$ можно найти как разность объёмов, соответствующих уровням $h_2$ и $h_1$:

$V_{детали} = V_2 - V_1 = S \cdot h_2 - S \cdot h_1 = S \cdot (h_2 - h_1)$.

Подставим в это выражение $h_2 = 1.5 \cdot h_1$:

$V_{детали} = S \cdot (1.5 \cdot h_1 - h_1) = S \cdot (0.5 \cdot h_1)$.

Это можно переписать как $V_{детали} = 0.5 \cdot (S \cdot h_1)$.

Так как мы знаем, что начальный объём $V_1 = S \cdot h_1 = 6$ литров, то можем найти объём детали:

$V_{детали} = 0.5 \cdot V_1 = 0.5 \cdot 6 = 3$ литра.

Ответ: 3 литра.

17. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в три раза больше первого?

Пусть $V_1$ и $h_1$ — объем жидкости и ее уровень в первом сосуде, а $V_2$ и $h_2$ — объем и уровень жидкости во втором сосуде. Поскольку жидкость просто переливают из одного сосуда в другой, ее объем не меняется, то есть $V_1 = V_2$.

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде равен произведению площади основания на высоту: $V = S \cdot h$. Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания. Так как радиус $R$ равен половине диаметра $d$ ($R = d/2$), то площадь основания можно выразить через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Запишем объемы жидкости в первом и втором сосудах, используя их диаметры $d_1$ и $d_2$:

$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Приравниваем объемы:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Сократив обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$, получим:

$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

По условию задачи, диаметр второго сосуда в три раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$. Подставим это соотношение в уравнение:

$d_1^2 \cdot h_1 = (3d_1)^2 \cdot h_2$

$d_1^2 \cdot h_1 = 9d_1^2 \cdot h_2$

Сократим обе части на $d_1^2$ (диаметр не может быть равен нулю):

$h_1 = 9h_2$

Отсюда выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{h_1}{9}$

Нам известно, что начальный уровень жидкости $h_1 = 18$ см. Найдем $h_2$:

$h_2 = \frac{18}{9} = 2$ см.

Таким образом, уровень жидкости во втором сосуде будет равен 2 см.

Ответ: 2 см.

18. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна $2 \text{ см}^2$, а образующая равна $6 \text{ см}$ и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Для нахождения объема конуса используется формула:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$,

где $V$ – объем конуса, $S_{осн}$ – площадь его основания, а $H$ – его высота.

Из условия задачи нам известны площадь основания $S_{осн} = 2 \text{ см}^2$ и длина образующей $L = 6 \text{ см}$. Также известно, что образующая наклонена к плоскости основания под углом $\alpha = 30°$.

Высота конуса $H$, его радиус $R$ и образующая $L$ связаны между собой как стороны прямоугольного треугольника. В этом треугольнике образующая $L$ является гипотенузой, а высота $H$ и радиус $R$ – катетами. Угол между образующей и плоскостью основания является углом между гипотенузой $L$ и катетом $R$. Высота $H$ является катетом, противолежащим этому углу.

Таким образом, мы можем найти высоту $H$ через образующую $L$ и угол $\alpha$:

$H = L \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$H = 6 \cdot \sin(30°)$

Значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$, поэтому:

$H = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь у нас есть все необходимые данные для расчета объема конуса. Подставим значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} \cdot 2 \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 2 \text{ см}^3$

Ответ: объем конуса равен $2 \text{ см}^3$.

19. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в три раза?

Для решения этой задачи вспомним формулу для вычисления объема конуса. Объем конуса $V$ определяется как одна треть произведения площади основания $S$ на высоту $h$.

$V = \frac{1}{3} S \cdot h$

Так как основанием конуса является круг, его площадь $S$ равна $\pi r^2$, где $r$ — радиус основания. Таким образом, формула объема конуса имеет вид:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Пусть $V_1$ — это первоначальный объем конуса с высотой $h_1$ и радиусом основания $r$.

$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1$

По условию задачи, высоту конуса уменьшили в три раза. Радиус основания при этом не изменился. Пусть новая высота будет $h_2$, а новый объем — $V_2$.

$h_2 = \frac{h_1}{3}$

Тогда новый объем $V_2$ будет равен:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 \left(\frac{h_1}{3}\right)$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшился объем, найдем отношение первоначального объема $V_1$ к новому объему $V_2$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3} \pi r^2 h_1}{\frac{1}{3} \pi r^2 \frac{h_1}{3}}$

В этом выражении можно сократить общие множители $\frac{1}{3}$, $\pi$, $r^2$ и $h_1$:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$

Это означает, что первоначальный объем в 3 раза больше нового, то есть объем конуса уменьшился в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

20. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для вычисления объема конуса. Объем конуса $V$ определяется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

где $r$ — это радиус основания конуса, а $h$ — его высота.

Пусть первоначальный объем конуса будет $V_1$, его радиус основания $r_1$, а высота $h$. Тогда:

$V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h$

По условию задачи, радиус основания увеличили в 1,5 раза. Обозначим новый радиус как $r_2$. Таким образом:

$r_2 = 1.5 \cdot r_1$

Высота конуса $h$ остается неизменной. Теперь вычислим новый объем конуса, $V_2$, подставив в формулу новый радиус $r_2$:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h = \frac{1}{3} \pi (1.5 \cdot r_1)^2 h$

Упростим выражение, возведя 1,5 в квадрат:

$V_2 = \frac{1}{3} \pi (1.5^2 \cdot r_1^2) h = \frac{1}{3} \pi (2.25 \cdot r_1^2) h$

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение нового объема $V_2$ к первоначальному объему $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3} \pi (2.25 \cdot r_1^2) h}{\frac{1}{3} \pi r_1^2 h}$

Сократим общие множители ($\frac{1}{3}$, $\pi$, $r_1^2$, и $h$) в числителе и знаменателе дроби:

$\frac{V_2}{V_1} = 2.25$

Следовательно, объем конуса увеличится в 2,25 раза.

Ответ: 2,25.

21. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем цилиндра, если объем конуса равен $10 \text{ см}^3$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами объемов цилиндра и конуса.

Объем цилиндра ($V_{цилиндра}$) вычисляется по формуле:$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h$где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Объем конуса ($V_{конуса}$) вычисляется по формуле:$V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Из условия задачи следует, что у цилиндра и конуса общее основание и общая высота. Это значит, что их площади оснований ($S_{осн}$) и высоты ($h$) равны.

Сравним формулы объемов. Можно заметить, что объем цилиндра в три раза больше объема конуса с такими же параметрами:$V_{цилиндра} = S_{осн} \cdot h = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\right) = 3 \cdot V_{конуса}$

Нам известен объем конуса: $V_{конуса} = 10 \text{ см}^3$.

Теперь мы можем найти объем цилиндра:$V_{цилиндра} = 3 \cdot V_{конуса} = 3 \cdot 10 \text{ см}^3 = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: 30 см³.

22. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен $150 \text{ см}^3$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для нахождения объемов цилиндра и конуса. Пусть $S$ — площадь общего основания, а $h$ — общая высота этих фигур.

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле:$V_{цил} = S \cdot h$

Объем конуса ($V_{кон}$) вычисляется по формуле:$V_{кон} = \frac{1}{3}S \cdot h$

Из сравнения формул видно, что при одинаковых площади основания и высоте объем конуса в три раза меньше объема цилиндра. Мы можем записать это соотношение следующим образом:$V_{кон} = \frac{V_{цил}}{3}$

В условии задачи дан объем цилиндра, который равен 150 см³. Подставим это значение в полученное соотношение, чтобы найти объем конуса:$V_{кон} = \frac{150 \text{ см}^3}{3} = 50 \text{ см}^3$

Ответ: 50 см³.

23. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

Объем шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — радиус шара.
Пусть $R_1$ — первоначальный радиус шара, а $V_1$ — его первоначальный объем. Тогда $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$.
Согласно условию, радиус увеличили в три раза. Новый радиус $R_2$ равен $3 \cdot R_1$.
Новый объем шара $V_2$ с радиусом $R_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (3R_1)^3$.
Так как $(3R_1)^3 = 3^3 \cdot R_1^3 = 27R_1^3$, то:
$V_2 = \frac{4}{3}\pi (27R_1^3) = 27 \cdot \left(\frac{4}{3}\pi R_1^3\right)$.
Заметим, что выражение в скобках равно первоначальному объему $V_1$. Таким образом, $V_2 = 27 \cdot V_1$.
Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение нового объема к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27V_1}{V_1} = 27$.
Следовательно, объем шара увеличится в 27 раз.
Ответ: в 27 раз.

24. Диагональ куба равна $\sqrt{12}$ см. Найдите его объем.

05. Объем куба равен $24\sqrt{5}$ см$^3$. Найдите его

24. Обозначим длину ребра куба как $a$, а его диагональ — $d$. Квадрат диагонали куба равен сумме квадратов трех его измерений. Для куба все ребра равны, поэтому формула для диагонали имеет вид: $d^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$. Извлекая квадратный корень, получаем соотношение: $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, диагональ куба равна $d = \sqrt{12}$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти длину ребра $a$:
$a\sqrt{3} = \sqrt{12}$
Теперь выразим $a$:
$a = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, длина ребра куба составляет 2 см.

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение $a$:
$V = 2^3 = 8$ см$^3$.

Ответ: $8$ см$^3$.

25. Объем куба равен $24\sqrt{3}\text{ см}^3$. Найдите его диагональ.

26. Про ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие

25. Пусть $a$ — длина ребра куба, а $d$ — его диагональ.

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Диагональ куба $d$ связана с его ребром $a$ соотношением $d = a\sqrt{3}$.

По условию задачи, объем куба равен $V = 24\sqrt{3}$ см³. Первым шагом найдем длину ребра куба $a$.

$a^3 = 24\sqrt{3}$

Чтобы найти $a$, представим правую часть уравнения в виде куба некоторого выражения. Для этого разложим число $24$ на множители и преобразуем выражение:

$24\sqrt{3} = 8 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3} = 2^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = (2\sqrt{3})^3$

Таким образом, наше уравнение принимает вид:

$a^3 = (2\sqrt{3})^3$

Из этого уравнения следует, что длина ребра куба равна $a = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь, зная длину ребра, мы можем найти диагональ куба, используя соответствующую формулу:

$d = a\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

26. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см, 4 см. Диагональ параллелепипеда равна 6 см. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, то есть длины его ребер, выходящих из одной вершины, равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи мы знаем, что два ребра равны 2 см и 4 см. Обозначим их как $a = 2$ см и $b = 4$ см. Третье ребро $c$ нам предстоит найти.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда связана с его измерениями следующей формулой, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$ где $d$ — длина диагонали.

По условию, диагональ параллелепипеда равна $d = 6$ см. Подставим известные значения в формулу: $6^2 = 2^2 + 4^2 + c^2$

Выполним вычисления: $36 = 4 + 16 + c^2$ $36 = 20 + c^2$

Теперь найдем $c^2$: $c^2 = 36 - 20$ $c^2 = 16$

Отсюда находим длину третьего ребра $c$: $c = \sqrt{16} = 4$ см.

Теперь, когда мы знаем все три измерения параллелепипеда ($a=2$ см, $b=4$ см, $c=4$ см), мы можем найти его объем. Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений: $V = a \cdot b \cdot c$

Подставим значения и вычислим объем: $V = 2 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ см$^3$.

Ответ: $32$ см$^3$.

27. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $2 \text{ см}$, $3 \text{ см}$. Объем параллелепипеда равен $36 \text{ см}^3$. Найдите его диагональ.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длины ребер, выходящих из одной вершины) равны $a$, $b$ и $c$. Из условия задачи нам известны два ребра и объем:
$a = 2$ см
$b = 3$ см
$V = 36$ см³

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле как произведение трех его измерений:
$V = a \cdot b \cdot c$

Чтобы найти третье ребро $c$, подставим известные значения в формулу объема:
$36 = 2 \cdot 3 \cdot c$
$36 = 6c$
Теперь найдем $c$:
$c = \frac{36}{6} = 6$ см.

Таким образом, измерения параллелепипеда составляют 2 см, 3 см и 6 см.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда ($d$) можно найти с помощью теоремы, которая является пространственным аналогом теоремы Пифагора. Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим значения длин ребер в эту формулу:
$d^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2$
$d^2 = 4 + 9 + 36$
$d^2 = 49$

Чтобы найти длину диагонали $d$, извлечем квадратный корень из 49:
$d = \sqrt{49} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

28. Если каждое ребро куба увеличить на 1 см, то его объем увеличится на $19 \text{ см}^3$. Найдите ребро куба.

Пусть $a$ — длина ребра исходного куба в сантиметрах. Тогда его объем равен $V_1 = a^3$.

Если каждое ребро увеличить на 1 см, его длина станет $(a + 1)$ см, а новый объем будет равен $V_2 = (a + 1)^3$.

Разница между новым и старым объемом по условию составляет 19 см³. Составим уравнение, исходя из этого условия: $V_2 - V_1 = 19$ $(a + 1)^3 - a^3 = 19$

Для решения уравнения раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$: $(a^3 + 3a^2 \cdot 1 + 3a \cdot 1^2 + 1^3) - a^3 = 19$

После упрощения и приведения подобных слагаемых получаем: $3a^2 + 3a + 1 = 19$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$, перенеся 19 в левую часть: $3a^2 + 3a + 1 - 19 = 0$ $3a^2 + 3a - 18 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 3: $a^2 + a - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-3$. Таким образом, корни уравнения: $a_1 = 2$ и $a_2 = -3$.

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной величиной, корень $a = -3$ не является решением задачи. Следовательно, длина ребра исходного куба составляет 2 см.

Проверим найденное решение. Исходный объем куба с ребром 2 см равен $2^3 = 8$ см³. Объем куба с увеличенным ребром (3 см) равен $3^3 = 27$ см³. Разница объемов составляет $27 - 8 = 19$ см³, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: 2 см.

29. Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 см и острым углом $60^\circ$. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол $60^\circ$ и равно 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Объем наклонного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = S_{base} \cdot H$, где $S_{base}$ — площадь основания, а $H$ — высота параллелепипеда.

1. Нахождение площади основания.

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной $a = 1$ см и острым углом $\alpha = 60^\circ$. Площадь ромба можно найти по формуле: $S = a^2 \sin(\alpha)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S_{base} = 1^2 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см².

2. Нахождение высоты параллелепипеда.

Высота параллелепипеда $H$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания. Она связана с боковым ребром $l$ и углом $\beta$, который это ребро составляет с плоскостью основания, следующим соотношением: $H = l \cdot \sin(\beta)$.

По условию задачи, длина бокового ребра $l = 2$ см, а угол его наклона к грани (основанию) равен $\beta = 60^\circ$.

Вычислим высоту:

$H = 2 \cdot \sin(60^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Нахождение объема параллелепипеда.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем параллелепипеда:

$V = S_{base} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{(\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см³.

Ответ: $1.5$ см³.

30. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2 см. Найдите объем параллелепипеда.

Поскольку прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, его высота равна высоте цилиндра, а в его основании лежит квадрат, сторона которого равна диаметру основания цилиндра. По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 2$ см, а его высота $h_{ц} = 2$ см.
Высота параллелепипеда $h_{п}$ равна высоте цилиндра:$h_{п} = h_{ц} = 2$ см.
Основание цилиндра представляет собой круг. Так как этот круг вписан в основание параллелепипеда (прямоугольник), то это основание является квадратом. Сторона этого квадрата $a$ равна диаметру $d$ основания цилиндра.
Найдем диаметр основания цилиндра:$d = 2r = 2 \times 2 = 4$ см.
Следовательно, сторона квадрата в основании параллелепипеда равна $a = 4$ см.
Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле:$V = S_{осн} \times h_{п}$
где $S_{осн}$ — площадь основания.
Площадь основания (квадрата) равна:$S_{осн} = a^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.
Теперь найдем объем параллелепипеда:$V = 16 \text{ см}^2 \times 2 \text{ см} = 32 \text{ см}^3$.
Ответ: $32 \text{ см}^3$.

31. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см. Объем параллелепипеда равен $8 см^3$. Найдите высоту цилиндра.

Поскольку прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, это означает, что основания параллелепипеда являются прямоугольниками, описанными около оснований цилиндра (которые являются окружностями). Прямоугольник, в который можно вписать окружность, является квадратом. Следовательно, в основании параллелепипеда лежит квадрат.

Сторона этого квадрата, обозначим ее $a$, равна диаметру $d$ вписанной окружности, то есть диаметру основания цилиндра.

Радиус основания цилиндра по условию равен $r = 1$ см. Диаметр основания цилиндра равен:

$d = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Таким образом, сторона квадратного основания параллелепипеда равна $a = 2$ см.

Площадь основания параллелепипеда $S_{осн}$ вычисляется как площадь квадрата:

$S_{осн} = a^2 = 2^2 = 4$ см².

Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ равен произведению площади его основания на высоту. Обозначим высоту как $H$. Высота параллелепипеда, описанного около цилиндра, равна высоте самого цилиндра.

$V = S_{осн} \cdot H$

По условию задачи, объем параллелепипеда $V = 8$ см³. Подставим известные значения в формулу и найдем высоту $H$:

$8 = 4 \cdot H$

$H = \frac{8}{4} = 2$ см.

Так как высота параллелепипеда равна высоте цилиндра, то искомая высота цилиндра равна 2 см.

Ответ: 2 см.

32. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 2 см. Найдите его объем.

Поскольку прямоугольный параллелепипед описан около сферы, это означает, что сфера вписана в параллелепипед и касается всех его шести граней.

В этом случае расстояние между каждой парой противоположных граней параллелепипеда равно диаметру вписанной сферы. Следовательно, все три измерения параллелепипеда (длина $a$, ширина $b$ и высота $c$) равны диаметру сферы $d$. Это означает, что данный прямоугольный параллелепипед является кубом.

Радиус сферы дан по условию: $r = 2$ см.

Найдем диаметр сферы:
$d = 2r = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Таким образом, ребро куба равно диаметру сферы:
$a = d = 4$ см.

Объем прямоугольного параллелепипеда (в данном случае куба) вычисляется по формуле:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$

Подставим значение длины ребра в формулу:
$V = 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ см³.

Ответ: 64 см³.