Номер 17, страница 103 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в три раза больше первого?

Пусть $V_1$ и $h_1$ — объем жидкости и ее уровень в первом сосуде, а $V_2$ и $h_2$ — объем и уровень жидкости во втором сосуде. Поскольку жидкость просто переливают из одного сосуда в другой, ее объем не меняется, то есть $V_1 = V_2$.

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде равен произведению площади основания на высоту: $V = S \cdot h$. Площадь основания цилиндра (круга) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус основания. Так как радиус $R$ равен половине диаметра $d$ ($R = d/2$), то площадь основания можно выразить через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Запишем объемы жидкости в первом и втором сосудах, используя их диаметры $d_1$ и $d_2$:

$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Приравниваем объемы:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2$

Сократив обе части уравнения на общий множитель $\frac{\pi}{4}$, получим:

$d_1^2 \cdot h_1 = d_2^2 \cdot h_2$

По условию задачи, диаметр второго сосуда в три раза больше диаметра первого: $d_2 = 3d_1$. Подставим это соотношение в уравнение:

$d_1^2 \cdot h_1 = (3d_1)^2 \cdot h_2$

$d_1^2 \cdot h_1 = 9d_1^2 \cdot h_2$

Сократим обе части на $d_1^2$ (диаметр не может быть равен нулю):

$h_1 = 9h_2$

Отсюда выразим искомую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{h_1}{9}$

Нам известно, что начальный уровень жидкости $h_1 = 18$ см. Найдем $h_2$:

$h_2 = \frac{18}{9} = 2$ см.

Таким образом, уровень жидкости во втором сосуде будет равен 2 см.

Ответ: 2 см.