Страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

63. От четырехугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечены четыре треугольные пирамиды плоскостями, проходящими через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

Пусть исходная четырехугольная пирамида имеет объем $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$. Обозначим ее вершину как S, а основание — как четырехугольник ABCD. Высота пирамиды пусть будет $h$. Объем пирамиды выражается формулой:$V_{исх} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$, где $S_{ABCD}$ — это площадь основания.

Согласно условию задачи, от исходной пирамиды отсекаются четыре малые треугольные пирамиды. Это делается с помощью плоскостей, каждая из которых проходит через вершину пирамиды S и середины двух смежных сторон основания. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как точки M, N, P и Q соответственно.

Когда все четыре угловые пирамиды (S-QAM, S-MBN, S-NCP и S-PDQ) отсечены, оставшаяся центральная часть сама является пирамидой. Ее вершина — это та же точка S, а основанием служит четырехугольник MNPQ, который соединяет середины сторон исходного основания.

Высота оставшейся пирамиды S-MNPQ равна высоте исходной пирамиды $h$, поскольку у них общая вершина, а их основания лежат в одной плоскости. Объем оставшейся части, который мы ищем ($V_{ост}$), можно найти по той же формуле для объема пирамиды:$V_{ост} = \frac{1}{3} S_{MNPQ} \cdot h$, где $S_{MNPQ}$ — площадь нового основания MNPQ.

Четырехугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника ABCD, является параллелограммом Вариньона. Важное свойство этого параллелограмма, согласно теореме Вариньона, заключается в том, что его площадь равна половине площади исходного четырехугольника:$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь мы можем связать объем оставшейся пирамиды с объемом исходной. Подставим соотношение площадей в формулу для $V_{ост}$:$V_{ост} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$.

Выражение в скобках, $(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$, является не чем иным, как объемом исходной пирамиды, $V_{исх}$. Таким образом, мы получаем простое соотношение между объемами:$V_{ост} = \frac{1}{2} V_{исх}$.

Зная, что объем исходной пирамиды $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$, мы можем легко вычислить объем оставшейся части:$V_{ост} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.

Ответ: $6 \text{ см}^3$.

64. Центры граней куба, ребро которого равно 6 см, служат вершинами октаэдра. Найдите его объем.

Пусть ребро куба равно $a = 6$ см. Октаэдр — это многогранник, у которого 8 граней (треугольники) и 6 вершин. В данной задаче вершины октаэдра совпадают с центрами шести граней куба.

Такой октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, которые соединены своими квадратными основаниями. Общее основание этих пирамид лежит в плоскости, проходящей через центр куба, а его вершины являются центрами четырех боковых граней куба. Вершинами (апексами) этих двух пирамид служат центры верхней и нижней граней куба.

Высота каждой из этих пирамид, обозначим ее $h$, равна расстоянию от центра куба до центра грани. Это расстояние составляет половину длины ребра куба: $h = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Основание каждой пирамиды — это квадрат. Его диагонали соединяют центры противоположных боковых граней куба, следовательно, длина диагонали этого квадрата ($d_{кв}$) равна ребру куба: $d_{кв} = a = 6$ см.

Площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) можно вычислить, зная длину его диагонали, по формуле: $S_{осн} = \frac{d_{кв}^2}{2}$ Подставляем известные значения: $S_{осн} = \frac{a^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см$^2$.

Объем одной пирамиды ($V_{пир}$) находится по формуле: $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18$ см$^3$.

Поскольку октаэдр состоит из двух таких одинаковых пирамид, его общий объем ($V_{окт}$) равен удвоенному объему одной пирамиды: $V_{окт} = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot 18 = 36$ см$^3$.

Ответ: 36 см$^3$.

65. Найдите объем цилиндра, описанного около шара, объем которого равен $1 \text{ см}^3$.

Обозначим радиус шара как $R$. Объем шара ($V_{шара}$) вычисляется по формуле:
$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

По условию задачи, объем шара равен 1 см³:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 1 \text{ см}^3$

Цилиндр описан около шара. Это означает, что шар вписан в цилиндр и касается его оснований и боковой поверхности. Следовательно, радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра ($h_{цил}$) равна диаметру шара, то есть $2R$.
$r_{цил} = R$
$h_{цил} = 2R$

Объем цилиндра ($V_{цил}$) вычисляется по формуле:
$V_{цил} = \pi r_{цил}^2 h_{цил}$
Подставим в эту формулу выражения для радиуса и высоты цилиндра через радиус шара:
$V_{цил} = \pi R^2 (2R) = 2\pi R^3$

Теперь установим соотношение между объемом цилиндра и объемом шара. Мы знаем, что $\frac{4}{3}\pi R^3 = 1$. Выразим из этого уравнения $\pi R^3$:
$\pi R^3 = 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

Подставим полученное значение в формулу для объема цилиндра:
$V_{цил} = 2 \cdot (\pi R^3) = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{4} = 1,5 \text{ см}^3$

Таким образом, объем цилиндра, описанного около шара с объемом 1 см³, равен 1,5 см³.

Ответ: 1,5 см³.

66. Объем шара равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем конуса, основанием которого является большой круг данного шара, а высотой — радиус, перпендикулярный плоскости этого круга.

Пусть $R$ — радиус данного шара.
Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3$.
По условию задачи, объем шара равен $12 \text{ см}^3$.

Теперь рассмотрим конус. Формула для объема конуса: $V_{конуса} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота конуса.
Согласно условию, основанием конуса является большой круг данного шара. Радиус большого круга совпадает с радиусом шара $R$. Следовательно, площадь основания конуса равна $S_{осн} = \pi R^2$.
Высота конуса, по условию, равна радиусу шара, то есть $H = R$.
Подставим выражения для площади основания и высоты в формулу объема конуса:
$V_{конуса} = \frac{1}{3} (\pi R^2) \cdot R = \frac{1}{3} \pi R^3$.

Теперь сравним полученные формулы для объемов шара и конуса:
$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = 4 \cdot \left(\frac{1}{3} \pi R^3\right)$
$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^3$
Из этого следует, что объем нашего конуса ровно в 4 раза меньше объема шара:
$V_{конуса} = \frac{1}{4} V_{шара}$.
Подставим известное значение объема шара:
$V_{конуса} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: 3 см³.

1. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 см, 2 см, 3 см. Найдите его площадь поверхности.

1. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, представляют собой его длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($c$). По условию задачи, их значения равны:
$a = 1$ см
$b = 2$ см
$c = 3$ см
Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда ($S$) — это сумма площадей всех его шести граней. Так как противоположные грани равны, формула для вычисления площади поверхности имеет вид:
$S = 2(ab + ac + bc)$
Подставим в формулу заданные значения ребер:
$S = 2 \cdot (1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3)$
Выполним вычисления по порядку:
1. Вычислим произведения в скобках:
$S = 2 \cdot (2 + 3 + 6)$
2. Сложим полученные значения в скобках:
$S = 2 \cdot 11$
3. Умножим результат на 2:
$S = 22$
Площадь измеряется в квадратных сантиметрах.
Ответ: $22 \text{ см}^2$.

2. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 см и 4 см. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна $52 \text{ см}^2$. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Обозначим три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, как $a$, $b$ и $c$.

Из условия задачи нам известны два ребра и площадь полной поверхности:

$a = 3$ см

$b = 4$ см

$S_{пов} = 52$ см²

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S_{пов} = 2(ab + ac + bc)$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти неизвестное третье ребро $c$:

$52 = 2(3 \cdot 4 + 3 \cdot c + 4 \cdot c)$

Упростим выражение в скобках:

$52 = 2(12 + 7c)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$26 = 12 + 7c$

Перенесем 12 в левую часть уравнения, изменив знак:

$26 - 12 = 7c$

$14 = 7c$

Теперь найдем $c$:

$c = \frac{14}{7}$

$c = 2$

Следовательно, третье ребро, выходящее из той же вершины, равно 2 см.

Ответ: 2 см.

3. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

3. Для решения задачи обозначим первоначальную длину ребра куба как $a$.

Площадь поверхности куба ($S$) представляет собой сумму площадей шести его граней. Каждая грань куба является квадратом. Площадь одной грани с ребром $a$ равна $a^2$.

Таким образом, начальная площадь поверхности куба ($S_1$) вычисляется по формуле:

$S_1 = 6a^2$

По условию задачи, ребро куба увеличили в три раза. Новая длина ребра будет равна $3a$.

Вычислим площадь поверхности нового куба ($S_2$). Площадь одной его грани теперь составит $(3a)^2 = 9a^2$.

Следовательно, полная площадь поверхности нового куба равна:

$S_2 = 6 \cdot (9a^2) = 54a^2$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, найдем отношение новой площади $S_2$ к начальной площади $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{54a^2}{6a^2} = 9$

Это означает, что площадь поверхности куба увеличилась в 9 раз.

Ответ: в 9 раз.

4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Площадь поверхности тетраэдра — это сумма площадей его четырех граней, которые являются треугольниками.
Когда все ребра тетраэдра увеличиваются в 2 раза, мы получаем новый тетраэдр, который подобен исходному. Коэффициент подобия $k$ в данном случае равен 2.
Согласно общему свойству подобных геометрических фигур, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Если $S_{старая}$ — это исходная площадь поверхности, а $S_{новая}$ — новая, то их отношение выражается формулой: $S_{новая} / S_{старая} = k^2$.
Подставим в эту формулу наш коэффициент подобия $k=2$:
$S_{новая} / S_{старая} = 2^2 = 4$.
Таким образом, площадь поверхности тетраэдра увеличится в 4 раза.

Ответ: 4

5. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 3 см, а высота – 6 см.

Площадь боковой поверхности правильной призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту ($h$). Формула для вычисления выглядит следующим образом:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
В основании данной призмы лежит правильный шестиугольник. Периметр правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$P_{осн} = 6 \cdot a$
Таким образом, итоговая формула для площади боковой поверхности правильной шестиугольной призмы:
$S_{бок} = (6 \cdot a) \cdot h$
Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:
Длина стороны основания $a = 3$ см.
Высота призмы $h = 6$ см.
Теперь подставим эти значения в формулу для нахождения площади боковой поверхности:
$S_{бок} = (6 \cdot 3 \text{ см}) \cdot 6 \text{ см} = 18 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^2$.
Ответ: 108 см$^2$.

прямой, стороны основанием которой равны 8 см, а высота – 3 см.

6. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, высота призмы равна 10 см. Найдите площадь ее поверхности.

Площадь полной поверхности призмы вычисляется по формуле $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$, где $S_{бок}$ – площадь боковой поверхности, а $S_{осн}$ – площадь основания.

1. Сначала найдем площадь основания призмы. Основанием является прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Далее найдем площадь боковой поверхности. Для прямой призмы она вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ – периметр основания, а $h$ – высота призмы.

Для вычисления периметра основания необходимо найти длину третьей стороны треугольника – гипотенузы $c$. Используем теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь найдем периметр основания, который равен сумме длин всех его сторон:$P_{осн} = a + b + c = 6 + 8 + 10 = 24$ см.

Высота призмы дана в условии и равна $h = 10$ см.Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности:$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 24 \cdot 10 = 240$ см².

3. Наконец, найдем площадь полной поверхности призмы, сложив площадь боковой поверхности и две площади основания:$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 240 + 2 \cdot 24 = 240 + 48 = 288$ см².

Ответ: 288 см².

7. Длина окружности основания цилиндра равна 3 см, высота равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок}$) находится как произведение длины окружности его основания ($C$) на высоту ($h$). Формула имеет вид: $S_{бок} = C \cdot h$.

В данной задаче нам известны все необходимые величины:

Длина окружности основания $C = 3$ см.

Высота цилиндра $h = 2$ см.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \text{ см}^2$.

8. Длина окружности основания конуса равна 3 см, образующая равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — его образующая.

В условии задачи нам не дан радиус основания $r$, но дана длина окружности основания $C = 3$ см. Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2 \pi r$.

Мы можем выразить радиус $r$ через длину окружности $C$:

$r = \frac{C}{2 \pi}$

Теперь подставим это выражение для радиуса в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot \left(\frac{C}{2 \pi}\right) \cdot l = \frac{1}{2} C l$

Эта формула позволяет найти площадь боковой поверхности, используя известные нам величины: длину окружности основания и образующую.

Подставим значения из условия задачи: $C = 3$ см и $l = 2$ см.

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$S_{бок} = 3 \text{ см}^2$

Ответ: 3 см².

9. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в три раза?

Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — это радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Из данной формулы следует, что площадь боковой поверхности находится в прямой пропорциональной зависимости от длины образующей. Это означает, что во сколько раз изменится образующая, во столько же раз изменится и площадь боковой поверхности (при условии, что радиус основания $r$ остается неизменным).

Обозначим начальную образующую как $l_1$, а начальную площадь боковой поверхности как $S_1 = \pi r l_1$.

По условию задачи, образующую увеличили в три раза. Новая образующая $l_2$ будет равна $l_2 = 3l_1$.

Тогда новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет равна:

$S_2 = \pi r l_2 = \pi r (3l_1) = 3(\pi r l_1)$

Так как $S_1 = \pi r l_1$, мы можем записать $S_2 = 3S_1$.

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь, найдем отношение новой площади $S_2$ к первоначальной площади $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3S_1}{S_1} = 3$

Следовательно, площадь боковой поверхности конуса увеличится в 3 раза.

Ответ: в 3 раза.

10. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшить в 1,5 раза?

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$, где $r$ — радиус основания конуса, а $l$ — длина его образующей.

Из этой формулы видно, что площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямо пропорциональна радиусу основания $r$ (при условии, что образующая $l$ остается постоянной).

Пусть $S_1$ — это начальная площадь боковой поверхности с радиусом $r_1$. Тогда $S_1 = \pi r_1 l$.

По условию задачи, радиус основания уменьшили в 1,5 раза. Это означает, что новый радиус $r_2$ равен $r_2 = \frac{r_1}{1,5}$.

Новая площадь боковой поверхности $S_2$ будет равна:$S_2 = \pi r_2 l = \pi \left(\frac{r_1}{1,5}\right) l$

Мы можем переписать это выражение, выделив первоначальную площадь $S_1$:$S_2 = \frac{1}{1,5} (\pi r_1 l) = \frac{S_1}{1,5}$

Чтобы определить, во сколько раз уменьшилась площадь, необходимо найти отношение первоначальной площади $S_1$ к новой площади $S_2$:$\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{S_1 / 1,5} = 1,5$

Таким образом, если радиус основания конуса уменьшить в 1,5 раза, то площадь его боковой поверхности также уменьшится в 1,5 раза.

Ответ: в 1,5 раза.

11. Площадь большого круга шара равна $1 \, \text{см}^2$. Найдите площадь поверхности шара.

Большой круг шара – это сечение шара плоскостью, которая проходит через его центр. Радиус такого круга совпадает с радиусом самого шара. Обозначим радиус шара как $r$.
Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.
Согласно условию задачи, площадь большого круга равна 1 см².
Таким образом, мы имеем равенство: $\pi r^2 = 1$ см².
Площадь поверхности шара находится по формуле $S_{поверхности} = 4 \pi r^2$.
Заметим, что формула площади поверхности шара в 4 раза больше формулы площади большого круга. Мы можем подставить известное значение $\pi r^2$ в эту формулу:
$S_{поверхности} = 4 \times (\pi r^2) = 4 \times 1 \text{ см}^2 = 4 \text{ см}^2$.
Ответ: 4 см².

12. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если его радиус увеличить в два раза?

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу площади поверхности шара. Площадь поверхности шара $S$ вычисляется по формуле:

$S = 4\pi r^2$, где $r$ — это радиус шара.

Пусть $r_1$ — это первоначальный радиус шара. Тогда его площадь поверхности $S_1$ равна:

$S_1 = 4\pi r_1^2$

Согласно условию задачи, радиус увеличили в два раза. Это означает, что новый радиус $r_2$ будет вдвое больше первоначального:

$r_2 = 2 \cdot r_1$

Теперь найдем новую площадь поверхности шара $S_2$, подставив в формулу новый радиус $r_2$:

$S_2 = 4\pi r_2^2 = 4\pi (2r_1)^2$

Раскроем скобки, возведя в квадрат и число, и радиус:

$S_2 = 4\pi (4r_1^2) = 16\pi r_1^2$

Чтобы определить, во сколько раз увеличилась площадь поверхности, нужно найти отношение новой площади $S_2$ к первоначальной площади $S_1$:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16\pi r_1^2}{4\pi r_1^2}$

Сократив одинаковые множители $\pi$ и $r_1^2$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, при увеличении радиуса шара в два раза, его площадь поверхности увеличивается в четыре раза.

Ответ: в 4 раза.