Номер 64, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

64. Центры граней куба, ребро которого равно 6 см, служат вершинами октаэдра. Найдите его объем.

Пусть ребро куба равно $a = 6$ см. Октаэдр — это многогранник, у которого 8 граней (треугольники) и 6 вершин. В данной задаче вершины октаэдра совпадают с центрами шести граней куба.

Такой октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, которые соединены своими квадратными основаниями. Общее основание этих пирамид лежит в плоскости, проходящей через центр куба, а его вершины являются центрами четырех боковых граней куба. Вершинами (апексами) этих двух пирамид служат центры верхней и нижней граней куба.

Высота каждой из этих пирамид, обозначим ее $h$, равна расстоянию от центра куба до центра грани. Это расстояние составляет половину длины ребра куба: $h = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Основание каждой пирамиды — это квадрат. Его диагонали соединяют центры противоположных боковых граней куба, следовательно, длина диагонали этого квадрата ($d_{кв}$) равна ребру куба: $d_{кв} = a = 6$ см.

Площадь основания пирамиды ($S_{осн}$) можно вычислить, зная длину его диагонали, по формуле: $S_{осн} = \frac{d_{кв}^2}{2}$ Подставляем известные значения: $S_{осн} = \frac{a^2}{2} = \frac{6^2}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см$^2$.

Объем одной пирамиды ($V_{пир}$) находится по формуле: $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 3 = 18$ см$^3$.

Поскольку октаэдр состоит из двух таких одинаковых пирамид, его общий объем ($V_{окт}$) равен удвоенному объему одной пирамиды: $V_{окт} = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot 18 = 36$ см$^3$.

Ответ: 36 см$^3$.