Номер 61, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

61. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Пусть $V_1$ – объем исходной правильной шестиугольной призмы, $S_1$ – площадь ее основания, а $h$ – ее высота. По условию, объем исходной призмы равен 12 см³.

$V_1 = S_1 \cdot h = 12$ см³

Новая призма имеет ту же высоту $h$, что и исходная. Ее основание — это новый правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон основания исходной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_2$, а площадь ее основания как $S_2$.

$V_2 = S_2 \cdot h$

Чтобы найти $V_2$, найдем отношение объемов двух призм. Поскольку их высоты одинаковы, отношение объемов равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Следовательно, $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Теперь найдем отношение площадей оснований $\frac{S_2}{S_1}$. Основания призм — подобные правильные шестиугольники. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Найдем этот коэффициент.

Пусть сторона исходного (большего) шестиугольника равна $a$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

Сторона нового (меньшего) шестиугольника, обозначим ее $b$, соединяет середины двух соседних сторон исходного шестиугольника. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами соседних сторон исходного шестиугольника и стороной нового шестиугольника. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $\frac{a}{2}$ и углом между ними $120^\circ$. По теореме косинусов найдем квадрат стороны $b$:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -0.5 = -\frac{1}{2}$, получим:

$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Отношение площадей $S_2$ и $S_1$ равно отношению квадратов их сторон:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b^2}{a^2} = \frac{\frac{3a^2}{4}}{a^2} = \frac{3}{4}$

Теперь мы можем найти объем новой призмы $V_2$:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ см³

Ответ: 9 см³.