Номер 62, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

62. В куб с ребром 6 см вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию, $a = 6$ см. Правильный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками, а значит, все ребра равны. Чтобы вписать такой тетраэдр в куб, его вершины нужно разместить в четырех вершинах куба так, чтобы никакие две из них не были соединены ребром куба. В этом случае ребрами тетраэдра станут шесть диагоналей граней куба.

Найдем длину ребра тетраэдра, обозначим ее $b$. Ребро тетраэдра является диагональю грани куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора:

$b = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

При $a = 6$ см, длина ребра тетраэдра равна:

$b = 6\sqrt{2}$ см.

Объем тетраэдра можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование формулы объема правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра с ребром $b$ вычисляется по формуле $V = \frac{b^3\sqrt{2}}{12}$. Подставим в нее значение $b = 6\sqrt{2}$ см:

$V_{тетр} = \frac{(6\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12} = \frac{6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \cdot 4}{12} = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Способ 2: Метод вычитания объемов

Объем тетраэдра можно также найти, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" пирамид, которые отсекаются от куба гранями вписанного тетраэдра. Объем куба с ребром $a = 6$ см равен:

$V_{куба} = a^3 = 6^3 = 216$ см³.

Каждая из четырех отсекаемых угловых пирамид имеет в вершине прямой трехгранный угол, а ее ребра, выходящие из этой вершины, равны ребру куба $a$. Объем такой пирамиды (тетраэдра с взаимно перпендикулярными ребрами $a, a, a$) равен:

$V_{пир} = \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{6} \cdot 6^3 = \frac{216}{6} = 36$ см³.

Так как таких пирамид четыре, их суммарный объем составляет:

$V_{отсеч} = 4 \cdot V_{пир} = 4 \cdot 36 = 144$ см³.

Тогда объем вписанного тетраэдра равен разности объемов куба и отсеченных пирамид:

$V_{тетр} = V_{куба} - V_{отсеч} = 216 - 144 = 72$ см³.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 72 см³.