Номер 63, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

63. От четырехугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечены четыре треугольные пирамиды плоскостями, проходящими через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

Пусть исходная четырехугольная пирамида имеет объем $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$. Обозначим ее вершину как S, а основание — как четырехугольник ABCD. Высота пирамиды пусть будет $h$. Объем пирамиды выражается формулой:$V_{исх} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h$, где $S_{ABCD}$ — это площадь основания.

Согласно условию задачи, от исходной пирамиды отсекаются четыре малые треугольные пирамиды. Это делается с помощью плоскостей, каждая из которых проходит через вершину пирамиды S и середины двух смежных сторон основания. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как точки M, N, P и Q соответственно.

Когда все четыре угловые пирамиды (S-QAM, S-MBN, S-NCP и S-PDQ) отсечены, оставшаяся центральная часть сама является пирамидой. Ее вершина — это та же точка S, а основанием служит четырехугольник MNPQ, который соединяет середины сторон исходного основания.

Высота оставшейся пирамиды S-MNPQ равна высоте исходной пирамиды $h$, поскольку у них общая вершина, а их основания лежат в одной плоскости. Объем оставшейся части, который мы ищем ($V_{ост}$), можно найти по той же формуле для объема пирамиды:$V_{ост} = \frac{1}{3} S_{MNPQ} \cdot h$, где $S_{MNPQ}$ — площадь нового основания MNPQ.

Четырехугольник MNPQ, образованный соединением середин сторон произвольного четырехугольника ABCD, является параллелограммом Вариньона. Важное свойство этого параллелограмма, согласно теореме Вариньона, заключается в том, что его площадь равна половине площади исходного четырехугольника:$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь мы можем связать объем оставшейся пирамиды с объемом исходной. Подставим соотношение площадей в формулу для $V_{ост}$:$V_{ост} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$.

Выражение в скобках, $(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$, является не чем иным, как объемом исходной пирамиды, $V_{исх}$. Таким образом, мы получаем простое соотношение между объемами:$V_{ост} = \frac{1}{2} V_{исх}$.

Зная, что объем исходной пирамиды $V_{исх} = 12 \text{ см}^3$, мы можем легко вычислить объем оставшейся части:$V_{ост} = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ см}^3 = 6 \text{ см}^3$.

Ответ: $6 \text{ см}^3$.