Номер 60, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

60. От куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребра которого равны 3 см, отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ параллельно ребру $AA_1$. Найдите объем оставшейся части.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем объем исходного куба, затем вычислим объем одной отсекаемой треугольной призмы, умножим его на четыре (так как отсекается четыре одинаковых призмы по углам) и, наконец, вычтем суммарный объем отсеченных частей из объема всего куба.

1. Нахождение объема исходного куба

По условию, ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a = 3$ см. Объем куба вычисляется по формуле:

$V_{куба} = a^3$

Подставляем значение ребра:

$V_{куба} = 3^3 = 27$ см³.

2. Определение формы и объема одной отсеченной призмы

От куба отсекаются четыре одинаковые прямые треугольные призмы. Рассмотрим призму, отсекаемую у вершины $A$ нижнего основания. Секущая плоскость проходит через середины смежных ребер $AB$ и $AD$. Обозначим эти середины как $K$ и $L$ соответственно.

Поскольку ребро куба равно 3 см, то катеты прямоугольного треугольника $AKL$ (угол $\angle KAL = 90^\circ$) равны:

$AK = AL = \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Площадь этого треугольника, который является основанием отсекаемой призмы, равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AL = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 1.5 = \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 1.125$ см².

Высота отсекаемой призмы равна высоте куба, так как секущая плоскость параллельна ребру $AA_1$. Таким образом, высота призмы $h = a = 3$ см.

Объем одной такой треугольной призмы равен:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 1.125 \cdot 3 = 3.375$ см³.

3. Нахождение суммарного объема отсеченных частей

Всего от куба отсекается четыре одинаковые призмы по углам основания $ABCD$. Их суммарный объем $V_{отсеч}$ равен:

$V_{отсеч} = 4 \cdot V_{призмы} = 4 \cdot 3.375 = 13.5$ см³.

4. Нахождение объема оставшейся части

Чтобы найти объем оставшейся части $V_{ост}$, нужно из объема исходного куба вычесть суммарный объем четырех отсеченных призм:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{отсеч} = 27 - 13.5 = 13.5$ см³.

Интересно отметить, что объем оставшейся части равен объему отсеченной, то есть от куба отрезали ровно половину его объема.

Ответ: $13.5$ см³.