Номер 55, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

55. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на $\Pi$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $h$ – его высота. В условии требуется найти значение выражения $\frac{V}{\pi}$.

Сначала найдем радиус основания конуса. По условию, диаметр основания $d = 6$ см. Радиус равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь найдем высоту конуса. Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса. Угол при вершине этого треугольника, согласно условию, равен $90^\circ$. Высота конуса $h$ является высотой этого равнобедренного треугольника, проведенной из вершины к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Это означает, что высота $h$ делит осевое сечение на два одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами в каждом таком треугольнике являются высота конуса $h$ и радиус основания $r$. Угол при вершине конуса делится высотой пополам, поэтому угол, противолежащий катету $r$, будет равен $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Так как в полученном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол тоже равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны между собой:$h = r$.

Поскольку $r = 3$ см, то и высота $h = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить объем конуса, подставив значения $r$ и $h$ в формулу:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$ см$^3$.

Наконец, вычислим объем конуса, деленный на $\pi$:$\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{\pi} = 9$.

Ответ: 9