Номер 50, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

50. От треугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Пусть исходная треугольная пирамида имеет объем $V_{исх}$, площадь основания $S_{исх}$ и высоту $H$. По условию, $V_{исх} = 12$ см³. Формула для объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.Следовательно, $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{исх} H = 12$ см³.

Отсеченная пирамида получается с помощью плоскости, проходящей через вершину исходной пирамиды и среднюю линию ее основания. Это означает, что отсеченная пирамида имеет ту же вершину и, следовательно, ту же высоту $H$, что и исходная пирамида, так как их основания лежат в одной плоскости.

Основанием отсеченной пирамиды является треугольник, который отсекается средней линией от основания исходной пирамиды. Обозначим площадь основания отсеченной пирамиды как $S_{отсеч}$.Пусть основание исходной пирамиды — треугольник $ABC$. Средняя линия, например $MN$ (где $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$), отсекает от него треугольник $MBN$.Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними (угол $B$ общий, а $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$). Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Отсюда, $S_{отсеч} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь можем найти объем отсеченной пирамиды $V_{отсеч}$:$V_{отсеч} = \frac{1}{3} S_{отсеч} H$Подставим выражение для $S_{отсеч}$:$V_{отсеч} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} S_{исх}) H = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{исх} H)$Так как выражение в скобках является объемом исходной пирамиды $V_{исх}$, получаем:$V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}$Подставляя значение $V_{исх} = 12$ см³, находим:$V_{отсеч} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см³.

Ответ: 3 см³.