Номер 43, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

43. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне основания пирамиды, $a = 4$ см.Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Подставим значение $a=4$ см:$S_{\triangle} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².Площадь основания (шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.Угол между боковой гранью и основанием — это линейный угол двугранного угла. Построим его. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания. Тогда $SO$ — высота пирамиды ($h$). Проведем апофему боковой грани $SK$ (где $K$ — середина стороны основания $CD$). Отрезок $OK$ соединяет центр основания с серединой стороны, является апофемой основания и перпендикулярен стороне $CD$. Таким образом, угол $\angle SKO$ является искомым углом между боковой гранью $SCD$ и основанием. По условию, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ ($\angle SOK = 90^\circ$). Катет $OK$ является высотой в равностороннем треугольнике $\triangle OCD$ со стороной $a=4$ см. Длина $OK$ вычисляется по формуле:$OK = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ мы знаем катет $OK$ и угол $\angle SKO = 45^\circ$. Высота пирамиды $h=SO$ является другим катетом. Так как треугольник $\triangle SOK$ — прямоугольный и один из его острых углов равен $45^\circ$, то он является равнобедренным. Следовательно, катеты равны:$h = SO = OK = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ см³.

Ответ: $48$ см³.