Номер 41, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро равно 4 см. Найдите объем пирамиды.

42. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен $6\text{ см}^3$. Сторона

41. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Дано: правильная шестиугольная пирамида, сторона основания $a = 2$ см, боковое ребро $l = 4$ см.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основание пирамиды — правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника, то есть $a = 2$ см.Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь всего шестиугольника (основания пирамиды) равна:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение $a = 2$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$ (один катет), боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (второй катет). Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания, который также является центром описанной окружности.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a = 2$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.Выразим высоту: $H^2 = l^2 - R^2$.

Подставим известные значения $l = 4$ см и $R = 2$ см:

$H^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$.

$H = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot (6 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12$ см³.

Ответ: $12$ см³.