Номер 34, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

34. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $32 \text{ см}^3$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Пусть $V$ - объем исходной треугольной призмы, $S_{осн}$ - площадь ее основания, а $h$ - ее высота. По условию задачи, $V = 32 \text{ см}^3$.

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

Таким образом, для исходной призмы имеем: $S_{осн} \cdot h = 32 \text{ см}^3$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы новую, меньшую треугольную призму.

Обозначим объем отсеченной призмы как $V_{отс}$, площадь ее основания как $S_{отс\_осн}$, а ее высоту как $h_{отс}$.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру исходной призмы, высота отсеченной призмы будет равна высоте исходной призмы: $h_{отс} = h$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим исходный треугольник в основании как $\triangle ABC$. Средняя линия, соединяющая середины двух его сторон, отсекает от него треугольник, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше сторон большого.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади основания отсеченной призмы к площади основания исходной призмы равно:

$\frac{S_{отс\_осн}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $S_{отс\_осн} = \frac{1}{4} S_{осн}$.

Теперь мы можем найти объем отсеченной призмы:

$V_{отс} = S_{отс\_осн} \cdot h_{отс} = (\frac{1}{4} S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Так как мы знаем, что $S_{осн} \cdot h = V = 32 \text{ см}^3$, подставляем это значение в формулу:

$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^3$

Ответ: 8 см³.