Номер 35, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

35. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен $5 \text{ см}^3$. Найдите объем исходной призмы.

Пусть объем исходной треугольной призмы равен $V_{исх}$, площадь ее основания — $S_{исх}$, а высота — $h$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Таким образом, $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$.
По условию, через среднюю линию основания проведена секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы другую, меньшую треугольную призму. Обозначим объем отсеченной призмы как $V_{отсеч}$. По условию, $V_{отсеч} = 5$ см³.
Так как секущая плоскость параллельна боковому ребру, то высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы, то есть $h$.
Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника, лежащего в основании исходной призмы. Пусть основанием исходной призмы является треугольник $\triangle T$. Средняя линия отсекает от него подобный треугольник $\triangle T_{отсеч}$.
Коэффициент подобия этих треугольников $k$ равен $1/2$, так как стороны отсеченного треугольника в два раза меньше сторон исходного. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Следовательно, площадь основания отсеченной призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы: $S_{отсеч} = \frac{1}{4}S_{исх}$.
Теперь можем найти отношение объемов призм:
$\frac{V_{отсеч}}{V_{исх}} = \frac{S_{отсеч} \cdot h}{S_{исх} \cdot h} = \frac{\frac{1}{4}S_{исх}}{S_{исх}} = \frac{1}{4}$
Отсюда следует, что объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы:
$V_{исх} = 4 \cdot V_{отсеч}$
Подставим известное значение объема отсеченной призмы:
$V_{исх} = 4 \cdot 5 = 20$ см³
Ответ: 20 см³.