Номер 40, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

40. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть S - вершина треугольной пирамиды, а SA, SB и SC - ее боковые ребра.

Согласно условию задачи, боковые ребра взаимно перпендикулярны, то есть $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SA \perp SC$. Это означает, что углы при вершине S в боковых гранях прямые: $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$. Длина каждого бокового ребра равна 3 см: $SA = SB = SC = 3$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды можно выбрать любую из ее граней. Удобнее всего выбрать одну из боковых граней, так как они являются прямоугольными треугольниками. Выберем в качестве основания грань SBC.

Поскольку $\angle BSC = 90^\circ$, треугольник SBC — прямоугольный. Его площадь равна половине произведения катетов:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$ см².

Если основанием является грань SBC, то высотой пирамиды $H$ будет перпендикуляр, опущенный из оставшейся вершины A на плоскость основания (плоскость SBC).По условию, ребро $SA$ перпендикулярно ребрам $SB$ и $SC$. Так как $SB$ и $SC$ — две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости SBC, то ребро $SA$ перпендикулярно всей плоскости SBC.Следовательно, длина ребра $SA$ является высотой пирамиды:$H = SA = 3$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения в формулу:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 3 = 4.5$ см³.

Ответ: $4.5$ см³.