Номер 44, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

44. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем треугольной пирамиды $B_1ABC$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для вычисления объемов параллелепипеда и пирамиды.

Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле:
$V_{\text{пар}} = S_{\text{осн}} \cdot H$,
где $S_{\text{осн}}$ – площадь основания, а $H$ – высота.

В качестве основания параллелепипеда возьмем грань $ABCD$. Тогда его площадь равна $S_{ABCD}$, а высота $H$ – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания (например, из вершины $B_1$) на плоскость нижнего основания $ABCD$.
По условию, $V_{\text{пар}} = S_{ABCD} \cdot H = 12$ см³.

Теперь рассмотрим треугольную пирамиду $B_1ABC$.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн. пир.}} \cdot h$,
где $S_{\text{осн. пир.}}$ – площадь основания пирамиды, а $h$ – ее высота.

У пирамиды $B_1ABC$ основанием является треугольник $ABC$, а вершиной – точка $B_1$.
Площадь ее основания равна $S_{ABC}$.
Высота $h$ пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из ее вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $H$ параллелепипеда. Таким образом, $h = H$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ – это параллелограмм. Диагональ $AC$ делит этот параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза меньше площади параллелограмма $ABCD$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Подставим полученные выражения для площади основания и высоты в формулу объема пирамиды:
$V_{B_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H)$.

Так как объем параллелепипеда $V_{\text{пар}} = S_{ABCD} \cdot H = 12$ см³, мы можем найти объем пирамиды:
$V_{B_1ABC} = \frac{1}{6} V_{\text{пар}} = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2$ см³.

Ответ: 2 см³.