Номер 51, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

51. Объем треугольной пирамиды $SABC$ равен $15 \text{ см}^3$. Плоскость проходит через сторону $AB$ основания этой пирамиды и пересекает противолежащее боковое ребро в точке $D$, делящей ребро $SC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $S$. Найдите объем пирамиды $DABC$.

Обозначим объем пирамиды $SABC$ как $V_{SABC}$, а объем пирамиды $DABC$ как $V_{DABC}$. По условию задачи, $V_{SABC} = 15 \text{ см}^3$.

Формула для вычисления объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$ объем равен $V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_S$, где $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $H_S$ — высота, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$.

Для пирамиды $DABC$ с вершиной $D$ и основанием $ABC$ объем равен $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_D$, где $S_{ABC}$ — та же площадь основания, а $H_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$.

Поскольку обе пирамиды имеют общее основание $ABC$, отношение их объемов равно отношению их высот:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_D}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_S} = \frac{H_D}{H_S}$

Найдем отношение высот $H_D$ к $H_S$. Проведем из точек $S$ и $D$ перпендикуляры $SH'$ и $DH''$ к плоскости основания $ABC$. Тогда $H_S = SH'$ и $H_D = DH''$. Так как $SH'$ и $DH''$ перпендикулярны одной и той же плоскости, они параллельны друг другу ($SH' \parallel DH''$).

Рассмотрим треугольники $\triangle SH'C$ и $\triangle DH''C$. Они лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через прямую $SC$ и перпендикуляр $SH'$). Эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle C$ — общий.

2. $\angle SH'C = \angle DH''C = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{DH''}{SH'} = \frac{DC}{SC}$

Следовательно, $\frac{H_D}{H_S} = \frac{DC}{SC}$.

По условию, точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$. Это означает, что $SD:DC = 1:2$. Примем длину отрезка $SD$ за $x$, тогда длина отрезка $DC$ будет равна $2x$. Длина всего ребра $SC$ составит $SC = SD + DC = x + 2x = 3x$.

Теперь найдем отношение $\frac{DC}{SC}$:

$\frac{DC}{SC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Таким образом, отношение высот пирамид равно $\frac{2}{3}$:

$\frac{H_D}{H_S} = \frac{2}{3}$

Подставим это отношение в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{2}{3}$

Отсюда выразим и вычислим объем пирамиды $DABC$:

$V_{DABC} = \frac{2}{3} \cdot V_{SABC} = \frac{2}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 2 \cdot 5 \text{ см}^3 = 10 \text{ см}^3$.

Ответ: $10 \text{ см}^3$.