Номер 49, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

49. Объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $12 \text{ см}^3$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите объем треугольной пирамиды $EABC$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Объем данной правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$. В основании этой пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Ее объем равен $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_{S}$, где $h_S$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания.

Найдем объем треугольной пирамиды $EABC$. Ее основанием является треугольник $ABC$, а вершиной — точка $E$.

Площадь основания пирамиды $EABC$, треугольника $ABC$, равна половине площади основания пирамиды $SABCD$, то есть квадрата $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит квадрат на два равных треугольника. Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота пирамиды $EABC$, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $(ABC)$, обозначим ее $h_E$. Так как точка $E$ является серединой бокового ребра $SB$, то высота $h_E$ будет в два раза меньше высоты исходной пирамиды $h_S$. Это следует из подобия треугольников, образованных высотами $h_S$, $h_E$ и отрезками ребра $SB$. Следовательно, $h_{E} = \frac{1}{2} h_{S}$.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $EABC$, подставив выражения для ее площади основания и высоты:$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_{E} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} h_{S}\right)$.

Сгруппируем множители:$V_{EABC} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_{S}\right) = \frac{1}{4} \cdot V_{SABCD}$.

Подставим известное значение объема пирамиды $SABCD$:$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.