Страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

33. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен $216 \text{ см}^3$. Найдите радиус сферы.

Если прямоугольный параллелепипед описан около сферы, это означает, что сфера касается всех шести его граней изнутри. Такое возможно только в том случае, если все измерения параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны между собой и равны диаметру вписанной сферы. Таким образом, данный прямоугольный параллелепипед является кубом.

Пусть ребро этого куба равно $a$. Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. По условию задачи, объем равен 216 см³. Найдем длину ребра куба:

$a^3 = 216 \text{ см}^3$

$a = \sqrt[3]{216} = 6 \text{ см}$

Ребро куба, описанного около сферы, равно диаметру $d$ этой сферы. Следовательно, диаметр сферы равен:

$d = a = 6 \text{ см}$

Радиус сферы $r$ равен половине ее диаметра. Вычислим радиус:

$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}$

Ответ: 3 см.

34. Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен $32 \text{ см}^3$, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

Пусть $V$ - объем исходной треугольной призмы, $S_{осн}$ - площадь ее основания, а $h$ - ее высота. По условию задачи, $V = 32 \text{ см}^3$.

Объем любой призмы вычисляется по формуле:

$V = S_{осн} \cdot h$

Таким образом, для исходной призмы имеем: $S_{осн} \cdot h = 32 \text{ см}^3$.

Секущая плоскость проходит через среднюю линию основания и параллельна боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы новую, меньшую треугольную призму.

Обозначим объем отсеченной призмы как $V_{отс}$, площадь ее основания как $S_{отс\_осн}$, а ее высоту как $h_{отс}$.

Поскольку секущая плоскость параллельна боковому ребру исходной призмы, высота отсеченной призмы будет равна высоте исходной призмы: $h_{отс} = h$.

Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника в основании исходной призмы. Обозначим исходный треугольник в основании как $\triangle ABC$. Средняя линия, соединяющая середины двух его сторон, отсекает от него треугольник, подобный исходному. Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен $1/2$, так как стороны малого треугольника в два раза меньше сторон большого.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия. Следовательно, отношение площади основания отсеченной призмы к площади основания исходной призмы равно:

$\frac{S_{отс\_осн}}{S_{осн}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда $S_{отс\_осн} = \frac{1}{4} S_{осн}$.

Теперь мы можем найти объем отсеченной призмы:

$V_{отс} = S_{отс\_осн} \cdot h_{отс} = (\frac{1}{4} S_{осн}) \cdot h = \frac{1}{4} (S_{осн} \cdot h)$

Так как мы знаем, что $S_{осн} \cdot h = V = 32 \text{ см}^3$, подставляем это значение в формулу:

$V_{отс} = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 \text{ см}^3$

Ответ: 8 см³.

35. Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен $5 \text{ см}^3$. Найдите объем исходной призмы.

Пусть объем исходной треугольной призмы равен $V_{исх}$, площадь ее основания — $S_{исх}$, а высота — $h$. Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$. Таким образом, $V_{исх} = S_{исх} \cdot h$.
По условию, через среднюю линию основания проведена секущая плоскость, параллельная боковому ребру. Эта плоскость отсекает от исходной призмы другую, меньшую треугольную призму. Обозначим объем отсеченной призмы как $V_{отсеч}$. По условию, $V_{отсеч} = 5$ см³.
Так как секущая плоскость параллельна боковому ребру, то высота отсеченной призмы равна высоте исходной призмы, то есть $h$.
Основанием отсеченной призмы является треугольник, который отсекается средней линией от треугольника, лежащего в основании исходной призмы. Пусть основанием исходной призмы является треугольник $\triangle T$. Средняя линия отсекает от него подобный треугольник $\triangle T_{отсеч}$.
Коэффициент подобия этих треугольников $k$ равен $1/2$, так как стороны отсеченного треугольника в два раза меньше сторон исходного. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
Следовательно, площадь основания отсеченной призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы: $S_{отсеч} = \frac{1}{4}S_{исх}$.
Теперь можем найти отношение объемов призм:
$\frac{V_{отсеч}}{V_{исх}} = \frac{S_{отсеч} \cdot h}{S_{исх} \cdot h} = \frac{\frac{1}{4}S_{исх}}{S_{исх}} = \frac{1}{4}$
Отсюда следует, что объем исходной призмы в 4 раза больше объема отсеченной призмы:
$V_{исх} = 4 \cdot V_{отсеч}$
Подставим известное значение объема отсеченной призмы:
$V_{исх} = 4 \cdot 5 = 20$ см³
Ответ: 20 см³.

36. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2 см, а боковые ребра равны $2\sqrt{3}$ см и наклонены к плоскости основания под углом $30^\circ$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $H$ — высота призмы.

1. Нахождение площади основания.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник со стороной $a = 2$ см. Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников, на которые он делится большими диагоналями. Сторона каждого такого треугольника равна стороне шестиугольника.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S_{\triangle} = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Площадь основания призмы, состоящего из шести таких треугольников, равна:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение высоты призмы.

Так как призма наклонная, ее высота $H$ не равна длине бокового ребра. Боковое ребро $l$, высота $H$ и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания $\alpha = 30^{\circ}$ является углом между боковым ребром (гипотенузой) и его проекцией (катетом).

Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$. Таким образом, ее можно найти по формуле:

$H = l \cdot \sin(\alpha)$

Подставляем известные значения: $l = 2\sqrt{3}$ см и $\alpha = 30^{\circ}$:

$H = 2\sqrt{3} \cdot \sin(30^{\circ}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.

3. Вычисление объема призмы.

Теперь мы можем вычислить объем призмы, используя найденные значения площади основания и высоты:

$V = S_{осн} \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см³.

Ответ: $18$ см³.

37. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6 см, боковое ребро равно 10 см. Найдите ее объем.

Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

По условию задачи, высота пирамиды $H = 6$ см, а боковое ребро $L = 10$ см. Так как пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат.

Высота пирамиды ($H$), боковое ребро ($L$) и половина диагонали основания ($R$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро является гипотенузой, а высота и половина диагонали основания — катетами.

Применим теорему Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$.

Подставим известные значения и найдем квадрат половины диагонали основания:

$R^2 = L^2 - H^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

Отсюда находим половину диагонали:

$R = \sqrt{64} = 8$ см.

Полная диагональ основания $d$ в два раза больше ее половины:

$d = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.

Площадь квадрата (основания пирамиды) можно найти, зная его диагональ, по формуле: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$.

$S_{осн} = \frac{16^2}{2} = \frac{256}{2} = 128$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 128 \cdot 6 = 128 \cdot \frac{6}{3} = 128 \cdot 2 = 256$ см³.

Ответ: $256$ см³.

38. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 $cm$, объем равен 200 $cm^3$. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

1. Нахождение площади основания пирамиды
Объем пирамиды определяется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $V$ — объем, $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота.
По условию задачи $V = 200 \text{ см}^3$ и $H = 12 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти площадь основания:
$200 = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot 12$
$200 = 4 \cdot S_{осн}$
$S_{осн} = \frac{200}{4} = 50 \text{ см}^2$.

2. Нахождение стороны основания
Поскольку пирамида правильная четырехугольная, в ее основании лежит квадрат. Пусть сторона квадрата равна $a$.
Площадь квадрата вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2$. Следовательно:
$a^2 = 50$
$a = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \text{ см}$.

3. Нахождение половины диагонали основания
Боковое ребро пирамиды, ее высота и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник. Найдем сначала всю диагональ $d$ квадрата в основании по формуле $d = a\sqrt{2}$:
$d = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}$.
Радиус описанной окружности основания (или половина диагонали) будет равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$.

4. Нахождение бокового ребра пирамиды
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, половиной диагонали основания $R$ и боковым ребром $l$ (которое является гипотенузой).
По теореме Пифагора:
$l^2 = H^2 + R^2$
Подставим известные значения $H=12$ см и $R=5$ см:
$l^2 = 12^2 + 5^2$
$l^2 = 144 + 25$
$l^2 = 169$
$l = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$.
Ответ: 13 см.

39. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. Пусть боковая грань, перпендикулярная плоскости основания, — это грань $SAD$.

Поскольку плоскость грани $(SAD)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$, то высота пирамиды, опущенная из вершины $S$, будет лежать в плоскости $(SAD)$. Основание этой высоты, точка $H$, будет находиться на линии пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(ABCD)$, то есть на стороне $AD$. Таким образом, $SH$ — высота пирамиды, и $SH \perp AD$. Из условия задачи известно, что высота пирамиды равна 6 см, следовательно, $SH = 6$ см.

Остальные три боковые грани ($SAB$, $SBC$ и $SCD$) наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Угол наклона грани к основанию — это линейный угол двугранного угла, образованный высотой боковой грани (апофемой) и ее проекцией на плоскость основания.

Рассмотрим грань $SCD$. Прямая пересечения с основанием — $CD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AD \perp CD$. Поскольку $H$ лежит на $AD$, отрезок $HD$ является проекцией наклонной $SD$ на плоскость основания. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция $HD$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $SD$ перпендикулярна $CD$. Значит, $SD$ — это высота грани $SCD$, а угол $\angle SDH$ — линейный угол двугранного угла, который по условию равен $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHD$ ($\angle SHD = 90^\circ$) находим катет $HD$:
$HD = \frac{SH}{\tan(\angle SDH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим грань $SAB$. Аналогично, прямая пересечения — $AB$. Так как $AD \perp AB$, то проекция наклонной $SA$ на плоскость основания есть $HA$. По теореме о трех перпендикулярах, $SA \perp AB$. Следовательно, $SA$ — высота грани $SAB$, а угол $\angle SAH$ равен $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHA$ ($\angle SHA = 90^\circ$) находим катет $HA$:
$HA = \frac{SH}{\tan(\angle SAH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь можем определить длину стороны $AD$ прямоугольника, которая является суммой длин отрезков $HA$ и $HD$:
$AD = HA + HD = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим грань $SBC$. Прямая пересечения — $BC$. Чтобы найти линейный угол, проведем из точки $H$ перпендикуляр $HM$ к стороне $BC$. В прямоугольнике $ABCD$ этот перпендикуляр $HM$ будет параллелен и равен стороне $AB$. Пусть $AB = b$, тогда $HM = b$. По теореме о трех перпендикулярах, $SM \perp BC$, и угол $\angle SMH$ — это угол наклона грани $SBC$, равный $60^\circ$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SHM$ ($\angle SHM = 90^\circ$) находим катет $HM$:
$HM = \frac{SH}{\tan(\angle SMH)} = \frac{6}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ см.
Таким образом, длина стороны $AB$ прямоугольника равна $AB = HM = 2\sqrt{3}$ см.

Мы нашли стороны основания: $AD = 4\sqrt{3}$ см и $AB = 2\sqrt{3}$ см. Вычислим площадь основания:
$S_{ABCD} = AD \cdot AB = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 8 \cdot 3 = 24$ см$^2$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{основания} \cdot H_{пирамиды}$. Подставим найденные значения:
$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 6 = 8 \cdot 6 = 48$ см$^3$.

Ответ: $48$ см$^3$.

40. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3 см. Найдите объем пирамиды.

Пусть S - вершина треугольной пирамиды, а SA, SB и SC - ее боковые ребра.

Согласно условию задачи, боковые ребра взаимно перпендикулярны, то есть $SA \perp SB$, $SB \perp SC$ и $SA \perp SC$. Это означает, что углы при вершине S в боковых гранях прямые: $\angle ASB = \angle BSC = \angle CSA = 90^\circ$. Длина каждого бокового ребра равна 3 см: $SA = SB = SC = 3$ см.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В качестве основания пирамиды можно выбрать любую из ее граней. Удобнее всего выбрать одну из боковых граней, так как они являются прямоугольными треугольниками. Выберем в качестве основания грань SBC.

Поскольку $\angle BSC = 90^\circ$, треугольник SBC — прямоугольный. Его площадь равна половине произведения катетов:$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot SC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$ см².

Если основанием является грань SBC, то высотой пирамиды $H$ будет перпендикуляр, опущенный из оставшейся вершины A на плоскость основания (плоскость SBC).По условию, ребро $SA$ перпендикулярно ребрам $SB$ и $SC$. Так как $SB$ и $SC$ — две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости SBC, то ребро $SA$ перпендикулярно всей плоскости SBC.Следовательно, длина ребра $SA$ является высотой пирамиды:$H = SA = 3$ см.

Теперь можем вычислить объем пирамиды, подставив найденные значения в формулу:$V = \frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 4.5 \cdot 3 = 4.5$ см³.

Ответ: $4.5$ см³.

41. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2 см, боковое ребро равно 4 см. Найдите объем пирамиды.

42. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен $6\text{ см}^3$. Сторона

41. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Дано: правильная шестиугольная пирамида, сторона основания $a = 2$ см, боковое ребро $l = 4$ см.

1. Найдем площадь основания ($S_{осн}$).

Основание пирамиды — правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника, то есть $a = 2$ см.Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Тогда площадь всего шестиугольника (основания пирамиды) равна:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Подставляем значение $a = 2$ см:

$S_{осн} = \frac{3 \cdot 2^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 4 \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды ($H$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$ (один катет), боковым ребром $l$ (гипотенуза) и радиусом $R$ описанной около основания окружности (второй катет). Вершина правильной пирамиды проецируется в центр ее основания, который также является центром описанной окружности.

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне, то есть $R = a = 2$ см.

По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.Выразим высоту: $H^2 = l^2 - R^2$.

Подставим известные значения $l = 4$ см и $R = 2$ см:

$H^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12$.

$H = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

3. Вычислим объем пирамиды ($V$).

Подставим найденные значения площади основания и высоты в формулу объема:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot (6 \cdot 2) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 3 = 12$ см³.

Ответ: $12$ см³.

42. Объем правильной шестиугольной пирамиды равны 6 см$^3$. Сторона основания равна 1 см. Найдите боковое ребро.

Для нахождения бокового ребра правильной шестиугольной пирамиды воспользуемся следующей последовательностью шагов.

1. Найдем площадь основания. Основанием является правильный шестиугольник со стороной $a = 1 \text{ см}$. Площадь правильного шестиугольника $S_{осн}$ вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Подставим значение стороны $a = 1 \text{ см}$:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$.

2. Найдем высоту пирамиды $H$. Объем пирамиды $V$ связан с площадью основания и высотой формулой:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$.
Выразим отсюда высоту $H$:
$H = \frac{3V}{S_{осн}}$.
Подставим известные значения $V = 6 \text{ см}^3$ и $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$:
$H = \frac{3 \cdot 6}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{18 \cdot 2}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.

3. Найдем боковое ребро $L$. Боковое ребро, высота пирамиды и радиус $R$ описанной около основания окружности образуют прямоугольный треугольник, в котором боковое ребро является гипотенузой. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне: $R = a = 1 \text{ см}$.
По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$.
Подставим значения $H$ и $R$:
$L^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2 = 16 \cdot 3 + 1 = 48 + 1 = 49$.
$L = \sqrt{49} = 7 \text{ см}$.

Ответ: 7 см.

43. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4 см, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$,где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 равных равносторонних треугольников со стороной, равной стороне основания пирамиды, $a = 4$ см.Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$Подставим значение $a=4$ см:$S_{\triangle} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².Площадь основания (шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Найдем высоту пирамиды.Угол между боковой гранью и основанием — это линейный угол двугранного угла. Построим его. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания. Тогда $SO$ — высота пирамиды ($h$). Проведем апофему боковой грани $SK$ (где $K$ — середина стороны основания $CD$). Отрезок $OK$ соединяет центр основания с серединой стороны, является апофемой основания и перпендикулярен стороне $CD$. Таким образом, угол $\angle SKO$ является искомым углом между боковой гранью $SCD$ и основанием. По условию, $\angle SKO = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$ ($\angle SOK = 90^\circ$). Катет $OK$ является высотой в равностороннем треугольнике $\triangle OCD$ со стороной $a=4$ см. Длина $OK$ вычисляется по формуле:$OK = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике $\triangle SOK$ мы знаем катет $OK$ и угол $\angle SKO = 45^\circ$. Высота пирамиды $h=SO$ является другим катетом. Так как треугольник $\triangle SOK$ — прямоугольный и один из его острых углов равен $45^\circ$, то он является равнобедренным. Следовательно, катеты равны:$h = SO = OK = 2\sqrt{3}$ см.

3. Найдем объем пирамиды.Теперь, зная площадь основания и высоту, можем вычислить объем:$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}$$V = \frac{1}{3} \cdot 24 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 8 \cdot 2 \cdot 3 = 48$ см³.

Ответ: $48$ см³.

44. Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем треугольной пирамиды $B_1ABC$.

Для решения задачи воспользуемся формулами для вычисления объемов параллелепипеда и пирамиды.

Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вычисляется по формуле:
$V_{\text{пар}} = S_{\text{осн}} \cdot H$,
где $S_{\text{осн}}$ – площадь основания, а $H$ – высота.

В качестве основания параллелепипеда возьмем грань $ABCD$. Тогда его площадь равна $S_{ABCD}$, а высота $H$ – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания (например, из вершины $B_1$) на плоскость нижнего основания $ABCD$.
По условию, $V_{\text{пар}} = S_{ABCD} \cdot H = 12$ см³.

Теперь рассмотрим треугольную пирамиду $B_1ABC$.
Объем пирамиды вычисляется по формуле:
$V_{\text{пир}} = \frac{1}{3} S_{\text{осн. пир.}} \cdot h$,
где $S_{\text{осн. пир.}}$ – площадь основания пирамиды, а $h$ – ее высота.

У пирамиды $B_1ABC$ основанием является треугольник $ABC$, а вершиной – точка $B_1$.
Площадь ее основания равна $S_{ABC}$.
Высота $h$ пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из ее вершины $B_1$ на плоскость основания $ABC$. Эта высота совпадает с высотой $H$ параллелепипеда. Таким образом, $h = H$.

Основание параллелепипеда $ABCD$ – это параллелограмм. Диагональ $AC$ делит этот параллелограмм на два равных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Следовательно, площадь треугольника $ABC$ в два раза меньше площади параллелограмма $ABCD$:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Подставим полученные выражения для площади основания и высоты в формулу объема пирамиды:
$V_{B_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot H = \frac{1}{6} (S_{ABCD} \cdot H)$.

Так как объем параллелепипеда $V_{\text{пар}} = S_{ABCD} \cdot H = 12$ см³, мы можем найти объем пирамиды:
$V_{B_1ABC} = \frac{1}{6} V_{\text{пар}} = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2$ см³.

Ответ: 2 см³.

45. Объем куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$ равен 12 см$^3$. Точки $E, F, E_1, F_1$ — середины ребер соответственно $BC, CD, B_1C_1, C_1D_1$. Найдите объем треугольной призмы $CEFC_1E_1F_1$.

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Объем куба $V_{куба}$ вычисляется по формуле $V_{куба} = a^3$. По условию задачи, $V_{куба} = 12$ см³, следовательно, $a^3 = 12$.

Рассмотрим треугольную призму $CEFC_1E_1F_1$. Ее основаниями являются треугольники $CEF$ и $C_1E_1F_1$, а высота призмы $h$ равна высоте куба, то есть $h = CC_1 = a$.

Объем призмы находится по формуле $V_{призмы} = S_{основания} \cdot h$. В качестве основания возьмем треугольник $CEF$, который лежит в плоскости основания куба $ABCD$.

Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $BC$ и $CD$ соответственно. Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, то треугольник $CEF$ является прямоугольным (угол $\angle C = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны:

$CE = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$

$CF = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}$

Площадь основания призмы, треугольника $CEF$, равна половине произведения его катетов:

$S_{CEF} = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8}$.

Теперь можем вычислить объем призмы:

$V_{призмы} = S_{CEF} \cdot h = \frac{a^2}{8} \cdot a = \frac{a^3}{8}$.

Подставим известное значение объема куба $a^3 = 12$ в полученную формулу:

$V_{призмы} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$ см³.

Ответ: $1,5$ см³.

46. Объем куба равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Для нахождения объема пирамиды можно использовать два способа.

Первый способ, более наглядный, заключается в мысленном разделении куба на части. Куб имеет 6 граней. Если соединить центр куба с вершинами каждой грани, то куб разделится на 6 одинаковых четырехугольных пирамид. Основанием каждой такой пирамиды будет грань куба, а вершиной — центр куба. Эти 6 пирамид полностью заполняют объем куба без пересечений. Следовательно, объем одной такой пирамиды составляет одну шестую часть от объема всего куба.

Пусть $V_{куба}$ — объем куба, а $V_{пирамиды}$ — объем искомой пирамиды. Тогда:

$V_{пирамиды} = \frac{V_{куба}}{6}$

По условию задачи, $V_{куба} = 12 \text{ см}^3$. Подставим это значение в формулу:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$.

Второй способ — использование формул.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куба} = a^3$.

Основанием нашей пирамиды является грань куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. Значит, площадь основания $S_{осн} = a^2$.

Высотой пирамиды является расстояние от ее вершины (центра куба) до плоскости основания (грани куба). Это расстояние равно половине длины ребра куба, то есть $h = \frac{a}{2}$.

Подставим эти выражения в формулу объема пирамиды:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^3}{6}$.

Так как объем куба $V_{куба} = a^3 = 12 \text{ см}^3$, то объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{12 \text{ см}^3}{6} = 2 \text{ см}^3$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 2 см³.

47. От призмы $ABC A_1 B_1 C_1$, объем которой равен $6 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида $C_1 ABC$. Найдите объем оставшейся части.

Пусть $V_{призмы}$ — объем исходной призмы $ABCA_1B_1C_1$, $S_{ABC}$ — площадь ее основания, а $h$ — высота.

Объем призмы вычисляется по формуле: $V_{призмы} = S_{ABC} \cdot h$.По условию задачи, $V_{призмы} = 6$ см³.

От призмы отсечена треугольная пирамида $C_1ABC$. Основанием этой пирамиды является треугольник $ABC$, а ее высота, опущенная из вершины $C_1$ на плоскость основания $ABC$, совпадает с высотой призмы $h$.

Объем пирамиды ($V_{пирамиды}$) вычисляется по формуле: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$.Для пирамиды $C_1ABC$ объем равен: $V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$.

Сравнивая формулы объемов призмы и пирамиды, видим, что объем пирамиды с тем же основанием и высотой, что и у призмы, составляет одну треть от объема призмы:$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} V_{призмы}$.

Найдем объем отсеченной пирамиды:$V_{C_1ABC} = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$ см³.

Объем оставшейся части ($V_{ост}$) равен разности объемов исходной призмы и отсеченной пирамиды:$V_{ост} = V_{призмы} - V_{C_1ABC} = 6 - 2 = 4$ см³.

Ответ: 4 см³.

48. Объем треугольной пирамиды $SABC$, являющейся частью правиль-

ной шестиугольной пирамиды $SABCDF$, равен $1 \text{ см}^3$. Найдите

объем шестиугольной пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Пусть $V_{полн}$ — искомый объем правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, а $V_{часть}$ — объем треугольной пирамиды $SABC$, который дан в условии.

$V_{полн} = \frac{1}{3} S_{ABCDEF} \cdot h$

$V_{часть} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h$

Обе пирамиды имеют общую вершину $S$ и их основания лежат в одной плоскости, поэтому их высоты $h$ равны. Отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

$ \frac{V_{полн}}{V_{часть}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABCDEF} \cdot h}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h} = \frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} $

Теперь найдем отношение площади основания правильного шестиугольника $ABCDEF$ к площади треугольника $ABC$.

Пусть сторона правильного шестиугольника равна $a$. Основание $ABCDEF$ можно разделить на шесть равных равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь всего шестиугольника: $S_{ABCDEF} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$.

Найдем площадь треугольника $ABC$. Стороны $AB$ и $BC$ равны $a$. Угол между ними, $\angle ABC$, является внутренним углом правильного шестиугольника и равен $120^\circ$. Площадь треугольника $ABC$ найдем по формуле: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120^\circ)$.

Поскольку $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $S_{ABC} = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Теперь можем найти отношение площадей: $\frac{S_{ABCDEF}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{1} = 6$.

Таким образом, площадь основания шестиугольной пирамиды в 6 раз больше площади основания треугольной пирамиды. Так как высоты у них равны, то и объем шестиугольной пирамиды в 6 раз больше объема треугольной.

$V_{полн} = 6 \cdot V_{часть}$

По условию $V_{часть} = 1$ см³. Значит: $V_{полн} = 6 \cdot 1 = 6$ см³.

Ответ: 6 см³.

49. Объем правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $12 \text{ см}^3$.

Точка $E$ — середина ребра $SB$. Найдите объем треугольной пирамиды $EABC$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Объем данной правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ равен $V_{SABCD} = 12 \text{ см}^3$. В основании этой пирамиды лежит квадрат $ABCD$. Ее объем равен $V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_{S}$, где $h_S$ — высота пирамиды, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания.

Найдем объем треугольной пирамиды $EABC$. Ее основанием является треугольник $ABC$, а вершиной — точка $E$.

Площадь основания пирамиды $EABC$, треугольника $ABC$, равна половине площади основания пирамиды $SABCD$, то есть квадрата $ABCD$, так как диагональ $AC$ делит квадрат на два равных треугольника. Таким образом, $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Высота пирамиды $EABC$, опущенная из вершины $E$ на плоскость основания $(ABC)$, обозначим ее $h_E$. Так как точка $E$ является серединой бокового ребра $SB$, то высота $h_E$ будет в два раза меньше высоты исходной пирамиды $h_S$. Это следует из подобия треугольников, образованных высотами $h_S$, $h_E$ и отрезками ребра $SB$. Следовательно, $h_{E} = \frac{1}{2} h_{S}$.

Теперь можем вычислить объем пирамиды $EABC$, подставив выражения для ее площади основания и высоты:$V_{EABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot h_{E} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2} S_{ABCD}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} h_{S}\right)$.

Сгруппируем множители:$V_{EABC} = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h_{S}\right) = \frac{1}{4} \cdot V_{SABCD}$.

Подставим известное значение объема пирамиды $SABCD$:$V_{EABC} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \text{ см}^3$.

Ответ: $3 \text{ см}^3$.