Страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.15. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 17.9). Найдите объем общей части куба и шара.

Рис. 17.9

По условию задачи дан единичный куб, ребро которого, следовательно, равно $a=1$ см. Шар, радиус которого $R=1$ см, имеет своим центром одну из вершин куба. Необходимо найти объем их общей части.

Для решения задачи удобно использовать декартову систему координат. Поместим начало координат $O(0, 0, 0)$ в вершину куба, которая является центром шара. Оси координат $Ox, Oy, Oz$ направим вдоль трех ребер куба, исходящих из этой вершины.

В этой системе координат единичный куб представляет собой область, заданную неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Шар с центром в начале координат и радиусом $R=1$ описывается неравенством: $x^2 + y^2 + z^2 \le 1^2$.

Общая часть (пересечение) куба и шара — это множество точек $(x, y, z)$, которые удовлетворяют одновременно условиям принадлежности и кубу, и шару. Из определения положения куба следует, что все точки общей части должны находиться в первом октанте, то есть их координаты должны быть неотрицательными ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$, которая принадлежит шару и расположена в первом октанте. Для нее выполняются условия $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ и $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Из второго неравенства, учитывая, что $y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$, следует, что $x^2 \le 1$. Так как $x$ неотрицательно, получаем $0 \le x \le 1$. Аналогично, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$.

Таким образом, любая точка шара, находящаяся в первом октанте, также удовлетворяет условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$, а значит, принадлежит и кубу. Следовательно, искомая общая часть представляет собой ту часть шара, которая находится в первом октанте.

Объем всего шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Шар является телом, симметричным относительно координатных плоскостей, поэтому эти плоскости делят его на 8 равных по объему частей (октантов).

Искомый объем $V$ равен объему одной восьмой части шара:
$V = \frac{1}{8} V_{шара} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{24}\pi R^3 = \frac{1}{6}\pi R^3$.

Подставим в полученную формулу заданное значение радиуса $R=1$ см:
$V = \frac{1}{6}\pi \cdot (1)^3 = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.

17.16. Дана правильная четырехугольная пирамида, стороны основания которой равны 2 см, а высота равна 1 см. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этой пирамиды (рис. 17.10). Найдите объем общей части пирамиды и шара.

Рис. 17.10

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. Пусть O — центр этого квадрата, тогда SO — высота пирамиды.

По условию задачи, сторона основания a = AB = 2 см, а высота h = SO = 1 см. Шар имеет центр в вершине пирамиды S и радиус R = 1 см. Общая часть пирамиды и шара представляет собой тело, ограниченное боковыми гранями пирамиды и сферической поверхностью.

Так как высота пирамиды SO = 1 см равна радиусу шара R = 1 см, и SO перпендикулярна плоскости основания ABCD, то основание пирамиды касается шара в точке O. Объем общей части пирамиды и шара — это объем сферического сектора (или сферической пирамиды) с вершиной в центре шара S. Объем такой фигуры вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \Omega R^3$, где $R$ — радиус шара, а $\Omega$ — телесный угол при вершине пирамиды S, выраженный в стерадианах.

Телесный угол многогранного угла равен площади сферического многоугольника, высекаемого его гранями на сфере единичного радиуса с центром в вершине угла. По теореме Жирара, площадь $A$ сферического n-угольника на сфере радиуса $R$ равна $A = (\sum_{i=1}^{n} \alpha_i - (n-2)\pi)R^2$, где $\alpha_i$ — внутренние углы многоугольника. Для единичной сферы ($R=1$) телесный угол $\Omega$ численно равен этой площади: $\Omega = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i - (n-2)\pi$.

В нашем случае $n=4$, и нам нужно найти внутренний двугранный угол $\varphi$ при боковом ребре пирамиды (все эти углы равны из-за симметрии).

Найдем необходимые для этого элементы пирамиды. Диагональ основания $AC = AB\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см. Отрезок $OC$ — половина диагонали: $OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOC$. Боковое ребро $SC$ является гипотенузой: $SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим двугранный угол при ребре $SC$. Этот угол образован боковыми гранями $SBC$ и $SDC$. Для его нахождения рассмотрим трехгранный угол при вершине $C$. Этот угол образован тремя плоскими углами: $\angle BCD$ (в основании), $\angle SCB$ и $\angle SCD$ (в боковых гранях).

1. Угол $\angle BCD = 90^\circ$, так как основание — квадрат.

2. Найдем угол $\angle SCB$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SBC$ стороны $SB=SC=\sqrt{3}$ см, а основание $BC=2$ см. Проведем апофему $SM$, где $M$ — середина $BC$. $MC = \frac{1}{2}BC = 1$ см. Так как $\triangle SBC$ равнобедренный, то его медиана $SM$ является и высотой, поэтому $\triangle SMC$ — прямоугольный. Из него найдем косинус угла $\angle SCB$ (он же $\angle SCM$): $\cos(\angle SCB) = \frac{MC}{SC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. По симметрии, $\cos(\angle SCD) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

3. Применим теорему косинусов для трехгранного угла с вершиной $C$. Пусть $\varphi$ — искомый двугранный угол при ребре $SC$. Тогда: $\cos(\angle BCD) = \cos(\angle SCB)\cos(\angle SCD) + \sin(\angle SCB)\sin(\angle SCD)\cos(\varphi)$. Зная косинусы, найдем синусы: $\sin^2(\angle SCB) = 1 - \cos^2(\angle SCB) = 1 - (\frac{1}{\sqrt{3}})^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Подставляем значения в формулу:$\cos(90^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \cos(\varphi)$$0 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\cos(\varphi)$$\frac{2}{3}\cos(\varphi) = -\frac{1}{3}$$\cos(\varphi) = -\frac{1}{2}$Отсюда $\varphi = 120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Теперь мы можем вычислить телесный угол $\Omega$ при вершине $S$. Все четыре двугранных угла при боковых ребрах равны $\varphi = \frac{2\pi}{3}$.$\Omega = (4 \cdot \varphi) - (4-2)\pi = 4 \cdot \frac{2\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi}{3} - 2\pi = \frac{8\pi - 6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ стерадиан.

Наконец, находим объем общей части пирамиды и шара:$V = \frac{1}{3} \Omega R^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2\pi}{3} \cdot 1^3 = \frac{2\pi}{9}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{2\pi}{9}$ см$^3$.

1. Во сколько раз увеличится объем куба, если все его ребра увеличить в два раза:

A) 2; B) 4; C) 6; D) 8?

1. Обозначим первоначальную длину ребра куба как $a$. Объем куба вычисляется по формуле $V = \text{длина ребра}^3$. Таким образом, первоначальный объем куба $V_1$ равен $a^3$.
По условию задачи, все ребра куба увеличили в два раза. Новая длина ребра стала равной $2a$.
Теперь найдем новый объем куба $V_2$ с ребром $2a$: $V_2 = (2a)^3$.
Используя свойства степени, раскроем скобки: $V_2 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$.
Чтобы определить, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение нового объема к первоначальному: $\frac{V_2}{V_1}$.
Подставим полученные значения объемов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{8a^3}{a^3} = 8$.
Следовательно, при увеличении всех ребер куба в два раза его объем увеличится в 8 раз.
Ответ: 8.

2. Площадь поверхности куба равна $12 \text{ см}^2$. Найдите его объем:

A) $2\sqrt{2} \text{ см}^3$;

B) $4 \text{ см}^3$;

C) $4\sqrt{2} \text{ см}^3$;

D) $8 \text{ см}^3$.

Пусть $a$ — длина ребра куба. Площадь полной поверхности куба $S$ состоит из площадей шести одинаковых граней, каждая из которых является квадратом. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, формула для площади полной поверхности куба: $S = 6a^2$.

По условию задачи, площадь поверхности куба равна 12 см². Подставим это значение в формулу:

$12 = 6a^2$

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти площадь одной грани ($a^2$):

$a^2 = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем длину ребра куба $a$, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{2}$ см

Объем куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение $a$:

$V = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см³

Ответ: $2\sqrt{2}$ см³