Номер 17.15, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.15. Дан единичный куб. Шар, радиус которого равен 1 см, имеет своим центром вершину этого куба (рис. 17.9). Найдите объем общей части куба и шара.

Рис. 17.9

По условию задачи дан единичный куб, ребро которого, следовательно, равно $a=1$ см. Шар, радиус которого $R=1$ см, имеет своим центром одну из вершин куба. Необходимо найти объем их общей части.

Для решения задачи удобно использовать декартову систему координат. Поместим начало координат $O(0, 0, 0)$ в вершину куба, которая является центром шара. Оси координат $Ox, Oy, Oz$ направим вдоль трех ребер куба, исходящих из этой вершины.

В этой системе координат единичный куб представляет собой область, заданную неравенствами: $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$.

Шар с центром в начале координат и радиусом $R=1$ описывается неравенством: $x^2 + y^2 + z^2 \le 1^2$.

Общая часть (пересечение) куба и шара — это множество точек $(x, y, z)$, которые удовлетворяют одновременно условиям принадлежности и кубу, и шару. Из определения положения куба следует, что все точки общей части должны находиться в первом октанте, то есть их координаты должны быть неотрицательными ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$).

Рассмотрим любую точку $(x, y, z)$, которая принадлежит шару и расположена в первом октанте. Для нее выполняются условия $x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$ и $x^2 + y^2 + z^2 \le 1$. Из второго неравенства, учитывая, что $y^2 \ge 0$ и $z^2 \ge 0$, следует, что $x^2 \le 1$. Так как $x$ неотрицательно, получаем $0 \le x \le 1$. Аналогично, $0 \le y \le 1$ и $0 \le z \le 1$.

Таким образом, любая точка шара, находящаяся в первом октанте, также удовлетворяет условиям $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le 1$, $0 \le z \le 1$, а значит, принадлежит и кубу. Следовательно, искомая общая часть представляет собой ту часть шара, которая находится в первом октанте.

Объем всего шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Шар является телом, симметричным относительно координатных плоскостей, поэтому эти плоскости делят его на 8 равных по объему частей (октантов).

Искомый объем $V$ равен объему одной восьмой части шара:
$V = \frac{1}{8} V_{шара} = \frac{1}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{24}\pi R^3 = \frac{1}{6}\pi R^3$.

Подставим в полученную формулу заданное значение радиуса $R=1$ см:
$V = \frac{1}{6}\pi \cdot (1)^3 = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.