Номер 17.13, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.13 В конус, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, вписан шар. Найдите его объем (рис. 17.7).

Рис. 17.7

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — вписанная в этот треугольник окружность.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $L$ — его образующая, и $H$ — высота. Согласно условию, $R = 1$ см и $L = 2$ см. Высота конуса, радиус основания и образующая связаны теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:

$L^2 = H^2 + R^2$

Найдем высоту конуса $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ шара, вписанного в конус, равен радиусу окружности, вписанной в его осевое сечение. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $L$.

Радиус вписанной в конус сферы можно найти, используя подобие треугольников в осевом сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$, и подобный ему треугольник, образованный отрезком высоты от вершины конуса до центра шара ($H-r$), радиусом шара $r$ и отрезком образующей.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$

Подставим известные значения $R=1$, $L=2$ и $H=\sqrt{3}$:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

$2r = \sqrt{3} - r$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем $V$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{27}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi$ см$^3$.