Номер 17.11, страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.11. Апельсин имеет форму шара. Толщина его кожуры составляет $\frac{1}{5}$ часть радиуса (рис. 17.4). Какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Рис. 17.4

Пусть $R$ — это радиус всего апельсина (вместе с кожурой). Апельсин имеет форму шара, поэтому его объем $V_{апельсин}$ вычисляется по формуле:

$V_{апельсин} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Согласно условию, толщина кожуры составляет одну пятую часть радиуса, то есть $\frac{1}{5}R$. Это означает, что радиус съедобной части апельсина (мякоти), обозначим его как $r$, меньше общего радиуса на толщину кожуры:

$r = R - \frac{1}{5}R = \frac{5R - R}{5} = \frac{4}{5}R$

Теперь найдем объем мякоти $V_{мякоть}$, который также является шаром, но с радиусом $r$:

$V_{мякоть} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4}{5}R\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{64}{125}R^3\right) = \frac{64}{125} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем кожуры $V_{кожура}$ — это разность между общим объемом апельсина и объемом мякоти:

$V_{кожура} = V_{апельсин} - V_{мякоть}$

$V_{кожура} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{64}{125}R^3$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{кожура} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{125 - 64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{61}{125}$

Чтобы определить, какую часть объема апельсина составляет его кожура, необходимо найти отношение объема кожуры к объему всего апельсина:

$\frac{V_{кожура}}{V_{апельсин}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{61}{125}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сокращая одинаковые множители $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$\frac{V_{кожура}}{V_{апельсин}} = \frac{61}{125}$

Ответ: Кожура составляет $\frac{61}{125}$ часть объема апельсина.