Страница 98 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17.5. Найдите объем шара, вписанного в цилиндр (рис. 17.2), высота которого равна 2 см.

Рис. 17.2

17.5. Поскольку шар вписан в цилиндр, это означает, что он касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, а также его боковой поверхности. Из этого следует, что высота цилиндра $H$ равна диаметру вписанного в него шара $d$.
По условию, высота цилиндра $H = 2$ см.
Следовательно, диаметр шара $d = H = 2$ см.
Радиус шара $R$ равен половине его диаметра: $R = \frac{d}{2} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1$ см.
Объем шара $V$ вычисляется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
Подставим найденное значение радиуса в формулу для вычисления объема: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot (1 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1 \text{ см}^3 = \frac{4}{3}\pi$ см$^3$.
Ответ: $\frac{4}{3}\pi$ см$^3$.

17.6. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см.

Найдите объем шара.

Для того чтобы найти объем шара, нам необходимо сначала вычислить его радиус. Обозначим радиус шара как $R$, расстояние от центра шара до секущей плоскости как $d$, а радиус круга в сечении как $r$.
Эти три величины образуют прямоугольный треугольник, где радиус шара $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами. По теореме Пифагора их связывает следующее соотношение:
$R^2 = d^2 + r^2$

Согласно условию задачи, мы имеем:
$d = 8$ см
$r = 6$ см

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти радиус шара $R$:
$R^2 = 8^2 + 6^2$
$R^2 = 64 + 36$
$R^2 = 100$
$R = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем. Формула для вычисления объема шара:
$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное значение радиуса $R = 10$ см в эту формулу:
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3$
$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000$
$V = \frac{4000}{3}\pi$ см³.

Ответ: $\frac{4000}{3}\pi$ см³.

17.7. Найдите объем шара, описанного около цилиндра (рис. 17.3), радиус основания и высота которого равны 1 см.

Рис. 17.3

17.7. Для нахождения объема шара, описанного около цилиндра, необходимо сначала найти радиус этого шара. Обозначим радиус шара как $R$, радиус основания цилиндра как $r$, а высоту цилиндра как $h$.

По условию задачи, радиус основания и высота цилиндра равны 1 см:

$r = 1$ см

$h = 1$ см

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением будет прямоугольник (осевое сечение цилиндра), вписанный в окружность (большой круг шара). Центр шара совпадает с центром симметрии цилиндра, то есть находится на середине его высоты.

Радиус шара $R$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r$ и половина высоты цилиндра $\frac{h}{2}$.

Используя теорему Пифагора, получаем соотношение:

$R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2$

Подставим известные значения $r=1$ см и $h=1$ см в формулу:

$R^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Отсюда находим радиус шара:

$R = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см

Теперь, зная радиус шара, мы можем вычислить его объем $V$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим найденное значение $R$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{(\sqrt{5})^3}{2^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{5\sqrt{5}}{8}$

Сократим и упростим выражение:

$V = \frac{4 \cdot 5\sqrt{5}}{3 \cdot 8}\pi = \frac{20\sqrt{5}}{24}\pi = \frac{5\sqrt{5}}{6}\pi$ см³

Ответ: $\frac{5\sqrt{5}}{6}\pi$ см³.

17.8. Площади поверхностей двух шаров относятся как $m : n$. Как относятся их объемы?

17.8. Пусть радиусы двух шаров равны $R_1$ и $R_2$, их площади поверхностей — $S_1$ и $S_2$, а объемы — $V_1$ и $V_2$.

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$. Согласно условию, отношение площадей поверхностей двух шаров равно $m : n$. Запишем это математически:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{m}{n}$

Сократив константы $4\pi$, мы получаем отношение квадратов радиусов:
$\frac{R_1^2}{R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = \frac{m}{n}$

Чтобы найти отношение самих радиусов, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{m}{n}} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$

Теперь найдем искомое отношение объемов. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Отношение объемов двух шаров будет:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_1^3}{\frac{4}{3}\pi R_2^3} = \frac{R_1^3}{R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$

Подставим в это выражение найденное ранее отношение радиусов $\frac{R_1}{R_2} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}$:
$\frac{V_1}{V_2} = (\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}})^3 = \frac{(\sqrt{m})^3}{(\sqrt{n})^3} = \frac{m\sqrt{m}}{n\sqrt{n}}$

Таким образом, объемы двух шаров относятся как $m\sqrt{m} : n\sqrt{n}$.
Ответ: $m\sqrt{m} : n\sqrt{n}$.

17.9. Найдите формулу объема шарового кольца — фигуры, заключенной между поверхностями двух шаров (рис. 17.4) радиусов $R_1$ и $R_2$ ($R_1 > R_2$), имеющих общий центр.

17.10. Математ...

Рис. 17.4

Шаровое кольцо (или шаровой слой) — это тело, заключенное между двумя концентрическими сферическими поверхностями. Пусть радиус большей сферы равен $R_1$, а радиус меньшей сферы равен $R_2$. По условию задачи, $R_1 > R_2$.

Чтобы найти объем шарового кольца, нужно из объема большего шара (с радиусом $R_1$) вычесть объем меньшего шара (с радиусом $R_2$).

Объем шара с радиусом $R$ вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Используя эту формулу, найдем объем большего шара: $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$

Аналогично, объем меньшего шара равен: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Объем шарового кольца $V$ равен разности объемов $V_1$ и $V_2$: $V = V_1 - V_2 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 - \frac{4}{3}\pi R_2^3$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки, чтобы упростить формулу: $V = \frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)$

Ответ: $V = \frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)$

17.10. Мякоть вишни окружает косточку толщиной, равной диаметру косточки (рис. 17.5). Считая шарообразной форму вишни и косточки, найдите отношение объема мякоти к объему косточки.

Рис. 17.5

По условию задачи, вишня и ее косточка имеют шарообразную форму. Пусть радиус косточки равен $r$. Тогда ее диаметр равен $d = 2r$.

Толщина слоя мякоти, окружающей косточку, равна диаметру косточки, то есть $2r$.

Радиус всей вишни $R$ складывается из радиуса косточки и толщины слоя мякоти: $R = r + 2r = 3r$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi \cdot (\text{радиус})^3$.

Найдем объем косточки ($V_к$): $V_к = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Найдем объем всей вишни ($V_в$), которая представляет собой шар с радиусом $R = 3r$: $V_в = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi (3r)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 27r^3 = 27 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3)$.

Объем мякоти ($V_м$) равен разности объемов всей вишни и косточки: $V_м = V_в - V_к = 27 \cdot (\frac{4}{3}\pi r^3) - \frac{4}{3}\pi r^3 = (27-1) \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = 26 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$.

Найдем искомое отношение объема мякоти к объему косточки: $\frac{V_м}{V_к} = \frac{26 \cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 26$.

Ответ: 26.

17.11. Апельсин имеет форму шара. Толщина его кожуры составляет $\frac{1}{5}$ часть радиуса (рис. 17.4). Какую часть объема апельсина составляет его кожура?

Рис. 17.4

Пусть $R$ — это радиус всего апельсина (вместе с кожурой). Апельсин имеет форму шара, поэтому его объем $V_{апельсин}$ вычисляется по формуле:

$V_{апельсин} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Согласно условию, толщина кожуры составляет одну пятую часть радиуса, то есть $\frac{1}{5}R$. Это означает, что радиус съедобной части апельсина (мякоти), обозначим его как $r$, меньше общего радиуса на толщину кожуры:

$r = R - \frac{1}{5}R = \frac{5R - R}{5} = \frac{4}{5}R$

Теперь найдем объем мякоти $V_{мякоть}$, который также является шаром, но с радиусом $r$:

$V_{мякоть} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{4}{5}R\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{64}{125}R^3\right) = \frac{64}{125} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем кожуры $V_{кожура}$ — это разность между общим объемом апельсина и объемом мякоти:

$V_{кожура} = V_{апельсин} - V_{мякоть}$

$V_{кожура} = \frac{4}{3}\pi R^3 - \frac{4}{3}\pi \frac{64}{125}R^3$

Вынесем за скобки общий множитель $\frac{4}{3}\pi R^3$:

$V_{кожура} = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(1 - \frac{64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \left(\frac{125 - 64}{125}\right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{61}{125}$

Чтобы определить, какую часть объема апельсина составляет его кожура, необходимо найти отношение объема кожуры к объему всего апельсина:

$\frac{V_{кожура}}{V_{апельсин}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3 \cdot \frac{61}{125}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Сокращая одинаковые множители $\frac{4}{3}\pi R^3$ в числителе и знаменателе, получаем итоговый результат:

$\frac{V_{кожура}}{V_{апельсин}} = \frac{61}{125}$

Ответ: Кожура составляет $\frac{61}{125}$ часть объема апельсина.

17.12. Диаметр шара монумента Байтерек в Нур-Султане (рис. 17.6) равен 22 м. Найдите объем этого шара.

Рис. 17.6

17.12. Для того чтобы найти объем шара, необходимо воспользоваться следующей формулой: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, а $R$ — это радиус шара.
Согласно условию задачи, нам известен диаметр шара $d$, который составляет 22 м.
Радиус шара $R$ равен половине его диаметра $d$. Вычислим радиус:
$R = \frac{d}{2} = \frac{22}{2} = 11 \text{ м}$.
Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем подставить его значение в формулу для вычисления объема шара:
$V = \frac{4}{3}\pi (11)^3$.
Сначала вычислим значение $11^3$:
$11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 121 \times 11 = 1331$.
Теперь подставим полученное значение обратно в формулу объема:
$V = \frac{4}{3} \pi \times 1331 = \frac{4 \times 1331}{3} \pi = \frac{5324}{3} \pi$.
Таким образом, объем шара равен $\frac{5324}{3}\pi$ кубических метров. Это значение также можно записать в виде смешанной дроби: $1774\frac{2}{3}\pi \text{ м}^3$.

Ответ: $\frac{5324}{3}\pi \text{ м}^3$.

17.13 В конус, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, вписан шар. Найдите его объем (рис. 17.7).

Рис. 17.7

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — вписанная в этот треугольник окружность.

Пусть $R$ — радиус основания конуса, $L$ — его образующая, и $H$ — высота. Согласно условию, $R = 1$ см и $L = 2$ см. Высота конуса, радиус основания и образующая связаны теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей:

$L^2 = H^2 + R^2$

Найдем высоту конуса $H$:

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Радиус $r$ шара, вписанного в конус, равен радиусу окружности, вписанной в его осевое сечение. Осевое сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2R$ и боковыми сторонами $L$.

Радиус вписанной в конус сферы можно найти, используя подобие треугольников в осевом сечении. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $L$, и подобный ему треугольник, образованный отрезком высоты от вершины конуса до центра шара ($H-r$), радиусом шара $r$ и отрезком образующей.

Из подобия этих треугольников следует соотношение:

$\frac{r}{R} = \frac{H-r}{L}$

Подставим известные значения $R=1$, $L=2$ и $H=\sqrt{3}$:

$\frac{r}{1} = \frac{\sqrt{3} - r}{2}$

$2r = \sqrt{3} - r$

$3r = \sqrt{3}$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара, мы можем найти его объем $V$ по формуле:

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{9}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{27}\pi$ см$^3$.

Ответ: $\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi$ см$^3$.

17.14. Около конуса, радиус основания которого равен 1 см, а образующая равна 2 см, описан шар. Найдите его объем (рис. 17.8).

Рис. 17.8

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса и описанного вокруг него шара. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением шара — большой круг, который является описанной окружностью для этого треугольника. Радиус этого круга равен радиусу шара $R$.

Пусть осевое сечение конуса — это треугольник $SAB$, где $S$ — вершина конуса, а $AB$ — диаметр его основания. По условию задачи, радиус основания конуса $r$ равен 1 см, а образующая $l$ равна 2 см.

Стороны треугольника $SAB$ равны: боковые стороны $SA = l = 2$ см и $SB = l = 2$ см. Основание треугольника $AB$ равно диаметру основания конуса, то есть $AB = 2r = 2 \cdot 1 = 2$ см. Так как все три стороны треугольника равны ($SA = SB = AB = 2$ см), то треугольник $SAB$ является равносторонним.

Радиус шара $R$ — это радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника $SAB$. Радиус $R$ описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. В нашем случае сторона $a = 2$ см, поэтому радиус шара равен:

$R = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь, зная радиус шара, можем вычислить его объем по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Подставим найденное значение $R$ в формулу объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{3^3}\right) = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{27}\right) = \frac{4}{3}\pi \frac{8\sqrt{3}}{9} = \frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$ см$^3$.