Страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

Как вычисляется объем шара?

Объем шара вычисляется по математической формуле, которая связывает его объем с радиусом. Шар представляет собой геометрическое тело, все точки поверхности которого равноудалены от центра. Это расстояние от центра до поверхности называется радиусом.

Основная формула для вычисления объема шара выглядит так:

$V = \frac{4}{3}\pi R^3$

В этой формуле:
$V$ — это объем шара.
$R$ — это радиус шара.
$\pi$ (пи) — это математическая константа, которая приблизительно равна $3.14159$.

Для того чтобы вычислить объем шара, необходимо выполнить следующие действия:
1. Определить радиус ($R$) шара. Если известен диаметр ($D$), то радиус можно найти, разделив диаметр пополам: $R = \frac{D}{2}$.
2. Возвести значение радиуса в третью степень (то есть в куб): $R^3$.
3. Умножить полученный результат на число $\pi$.
4. Умножить полученное значение на дробь $\frac{4}{3}$ (или умножить на 4, а затем разделить на 3).

Например, если радиус шара составляет 3 см, то его объем рассчитывается следующим образом:
$V = \frac{4}{3} \pi (3 \text{ см})^3 = \frac{4}{3} \pi (27 \text{ см}^3) = 4 \cdot 9\pi \text{ см}^3 = 36\pi \text{ см}^3$.
Приближенное значение объема будет $36 \cdot 3.14159 \approx 113.1$ см³.

Ответ: Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — объем, а $R$ — радиус шара.

17.1. Найдите объем шара, диаметр которого равен 6 см.

17.1. Для нахождения объема шара используется формула: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, а $R$ — это радиус шара.

В условии задачи указан диаметр шара $d = 6$ см. Радиус шара равен половине его диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь подставим значение радиуса в формулу для вычисления объема:

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot (3)^3$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27$

$V = 4\pi \cdot \frac{27}{3}$

$V = 4\pi \cdot 9$

$V = 36\pi$ см³.

Ответ: $36\pi$ см³.

17.2. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в: а) три раза; б) четыре раза?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — объем, а $R$ — радиус шара.

Пусть $V_1$ и $R_1$ — первоначальные объем и радиус шара, а $V_2$ и $R_2$ — новые объем и радиус.

Тогда $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3$ и $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3$.

Чтобы найти, во сколько раз увеличился объем, необходимо найти отношение $\frac{V_2}{V_1}$.

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{4}{3}\pi R_2^3}{\frac{4}{3}\pi R_1^3} = \frac{R_2^3}{R_1^3} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3$.

Из этой формулы видно, что если радиус увеличивается в $k$ раз (то есть $\frac{R_2}{R_1} = k$), то объем увеличивается в $k^3$ раз.

а) Если радиус увеличить в три раза, то $k=3$.

Новый радиус $R_2 = 3R_1$.

Отношение объемов будет равно: $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{3R_1}{R_1}\right)^3 = 3^3 = 27$.

Таким образом, объем шара увеличится в 27 раз.

Ответ: в 27 раз.

б) Если радиус увеличить в четыре раза, то $k=4$.

Новый радиус $R_2 = 4R_1$.

Отношение объемов будет равно: $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{4R_1}{R_1}\right)^3 = 4^3 = 64$.

Таким образом, объем шара увеличится в 64 раза.

Ответ: в 64 раза.

17.3. Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Определите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

17.3. Для решения этой задачи воспользуемся формулой объема шара. Объем шара ($V$) вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ — это радиус шара.

Обозначим радиусы трех данных шаров как $R_1 = 3$ см, $R_2 = 4$ см и $R_3 = 5$ см. Радиус искомого шара обозначим как $R_{новый}$.

По условию задачи, объем нового шара ($V_{новый}$) равен сумме объемов трех исходных шаров ($V_1$, $V_2$ и $V_3$):

$V_{новый} = V_1 + V_2 + V_3$

Подставим в это равенство формулу объема для каждого шара:

$\frac{4}{3}\pi R_{новый}^3 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3$

Мы можем вынести общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки в правой части уравнения:

$\frac{4}{3}\pi R_{новый}^3 = \frac{4}{3}\pi (R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)$

Сократив общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ в обеих частях, мы получим более простое соотношение между радиусами:

$R_{новый}^3 = R_1^3 + R_2^3 + R_3^3$

Теперь подставим числовые значения радиусов $R_1$, $R_2$ и $R_3$ в полученное уравнение:

$R_{новый}^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3$

Выполним вычисления степеней:

$3^3 = 27$

$4^3 = 64$

$5^3 = 125$

Сложим полученные значения, чтобы найти куб радиуса нового шара:

$R_{новый}^3 = 27 + 64 + 125 = 216$

Чтобы найти радиус $R_{новый}$, необходимо извлечь кубический корень из 216:

$R_{новый} = \sqrt[3]{216} = 6$ см

Следовательно, радиус шара, объем которого равен сумме объемов трех данных шаров, составляет 6 см.

Ответ: 6 см.

17.4. Сколько нужно взять шаров радиусом 2 см, чтобы сумма их объемов равнялась объему шара радиусом 6 см?

Для решения этой задачи найдем отношение объема большого шара к объему малого шара. Это отношение покажет, сколько малых шаров помещается в одном большом по объему.

Формула для вычисления объема шара имеет вид: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $V$ — это объем, а $R$ — это радиус шара.

Обозначим радиус большого шара как $R_1 = 6$ см, а радиус малого шара как $R_2 = 2$ см.

Объем большого шара равен: $V_1 = \frac{4}{3}\pi R_1^3 = \frac{4}{3}\pi (6)^3$.

Объем одного малого шара равен: $V_2 = \frac{4}{3}\pi R_2^3 = \frac{4}{3}\pi (2)^3$.

Чтобы найти искомое количество малых шаров, которое мы обозначим как $N$, нужно разделить объем большого шара на объем малого шара:

$N = \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi (6)^3}{\frac{4}{3}\pi (2)^3}$

Как мы видим, множитель $\frac{4}{3}\pi$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому его можно сократить. В результате остается только отношение кубов радиусов:

$N = \frac{6^3}{2^3} = (\frac{6}{2})^3 = 3^3 = 27$

Таким образом, чтобы сумма объемов малых шаров равнялась объему большого шара, необходимо взять 27 малых шаров.

Ответ: 27.