Страница 102 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна $12 \text{ см}^2$.
Ребро, перпендикулярное этой грани, равно $4 \text{ см}$. Найдите объем параллелепипеда.

1. Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ можно вычислить по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота, перпендикулярная этому основанию.

Из условия задачи мы знаем, что площадь одной из граней равна $12 \text{ см}^2$. Мы можем принять эту грань за основание. Следовательно, площадь основания $S_{осн} = 12 \text{ см}^2$.

Ребро, перпендикулярное этой грани, является высотой параллелепипеда. Его длина, согласно условию, составляет $h = 4 \text{ см}$.

Теперь, чтобы найти объем, подставим известные значения в формулу: $V = 12 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 48 \text{ см}^3$.Ответ: $48 \text{ см}^3$.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда равен $24 \text{ см}^3$. Одно из его ребер равно $3 \text{ см}$. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Объем прямоугольного параллелепипеда $V$ можно вычислить по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

В условии задачи дано ребро длиной 3 см. Грань, которая перпендикулярна этому ребру, может быть принята за основание параллелепипеда. Тогда данное ребро будет его высотой. Таким образом, нам нужно найти площадь основания $S_{осн}$, зная объем $V$ и высоту $h$.

Дано:

Объем $V = 24 \text{ см}^3$.

Высота (длина перпендикулярного ребра) $h = 3 \text{ см}$.

Из формулы объема $V = S_{осн} \cdot h$ выразим площадь основания:

$S_{осн} = \frac{V}{h}$

Теперь подставим известные значения и выполним вычисление:

$S_{осн} = \frac{24 \text{ см}^3}{3 \text{ см}} = 8 \text{ см}^2$

Ответ: 8 см².

3. Объем прямоугольного параллелепипеда равен $60 \text{ см}^3$. Площадь одной его грани равна $12 \text{ см}^2$. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($h$), проведенную к этому основанию. Формула имеет вид: $V = S_{осн} \cdot h$.

В условии задачи дана площадь одной из граней. Мы можем принять эту грань за основание параллелепипеда. Таким образом, площадь основания $S_{осн} = 12 \text{ см}^2$.

Ребро, перпендикулярное этой грани, по определению является высотой параллелепипеда ($h$), опущенной на это основание. Нам нужно найти длину этого ребра.

Объем параллелепипеда также дан в условии: $V = 60 \text{ см}^3$.

Подставим известные значения в формулу объема, чтобы найти неизвестную высоту $h$:
$60 \text{ см}^3 = 12 \text{ см}^2 \cdot h$

Выразим $h$ из этого равенства:
$h = \frac{V}{S_{осн}} = \frac{60 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2}$
$h = 5 \text{ см}$

Следовательно, длина ребра, перпендикулярного данной грани, равна 5 см.

Ответ: 5 см.

4. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $2 \text{ см}$ и $6 \text{ см}$. Объем параллелепипеда равен $48 \text{ см}^3$. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Пусть ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, имеют длины $a$, $b$ и $c$.

Согласно условию задачи, нам известны длины двух ребер и объем параллелепипеда:

$a = 2$ см

$b = 6$ см

$V = 48$ см³

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение длин трех его измерений (ребер, выходящих из одной вершины). Формула для объема выглядит следующим образом:

$V = a \cdot b \cdot c$

Мы можем подставить известные значения в эту формулу, чтобы найти длину третьего ребра $c$:

$48 = 2 \cdot 6 \cdot c$

Сначала вычислим произведение известных ребер:

$48 = 12 \cdot c$

Теперь, чтобы найти $c$, разделим объем на полученное произведение:

$c = \frac{48}{12}$

$c = 4$

Следовательно, длина третьего ребра, выходящего из той же вершины, составляет 4 см.

Ответ: 4 см.

5. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4 см, 6 см, 9 см. Найдите ребро равновеликого ему куба.

Для решения задачи необходимо сначала вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, а затем, зная, что объемы параллелепипеда и куба равны, найти длину ребра куба.

1. Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямоугольного параллелепипеда ($V_п$) равен произведению трех его измерений (длины, ширины и высоты), выходящих из одной вершины.

Формула для объема: $V_п = a \cdot b \cdot c$.

Подставим в формулу заданные значения ребер: $a = 4$ см, $b = 6$ см, $c = 9$ см.

$V_п = 4 \cdot 6 \cdot 9 = 24 \cdot 9 = 216 \text{ см}^3$.

2. Нахождение ребра равновеликого куба.
Термин "равновеликий" означает, что объемы фигур равны. Следовательно, объем куба ($V_к$) равен объему параллелепипеда:

$V_к = V_п = 216 \text{ см}^3$.

Объем куба вычисляется по формуле $V_к = d^3$, где $d$ — длина его ребра. Чтобы найти ребро куба, нужно извлечь кубический корень из его объема.

$d = \sqrt[3]{V_к} = \sqrt[3]{216}$.

Так как $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$, то длина ребра куба равна 6 см.

Ответ: 6 см.

6. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Для того чтобы определить, во сколько раз увеличится объем куба, необходимо сравнить его первоначальный объем с объемом после увеличения ребер.

1. Обозначим первоначальную длину ребра куба как $a$. Объем куба ($V_1$) вычисляется по формуле:

$V_1 = a^3$

2. По условию задачи, ребра куба увеличили в три раза. Новая длина ребра стала равной $3a$.

3. Найдем новый объем куба ($V_2$) с увеличенным ребром:

$V_2 = (3a)^3$

4. Упростим выражение для нового объема:

$V_2 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

5. Теперь найдем отношение нового объема к первоначальному, чтобы узнать, во сколько раз он увеличился:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{27a^3}{a^3}$

6. Сократив $a^3$ в числителе и знаменателе, получаем:

$\frac{V_2}{V_1} = 27$

Следовательно, объем куба увеличится в 27 раз.

Ответ: 27.

В три раза:

7. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см, боковое ребро равно 5 см.

Найдите объем призмы.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота призмы.
В основании данной призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Вычислим площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 24 \text{ см}^2$.
Поскольку призма прямая, ее высота $h$ равна длине бокового ребра, то есть $h = 5$ см.
Теперь, зная площадь основания и высоту, можно вычислить объем призмы:
$V = S_{осн} \cdot h = 24 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 120 \text{ см}^3$.
Ответ: $120 \text{ см}^3$.

Найдите объем призмы.

8. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 5 см. Объем призмы равен 30 $см^3$.

Найдите ее боковое ребро.

Объем прямой призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания, а $h$ – высота призмы.

Для прямой призмы высота равна ее боковому ребру, обозначим его как $l$. Таким образом, $h = l$.

Основанием данной призмы является прямоугольный треугольник с катетами $a = 3$ см и $b = 5$ см. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = \frac{15}{2} = 7,5$ см².

Теперь мы можем найти боковое ребро (высоту) призмы, используя формулу объема $V = S_{осн} \cdot l$ и подставив известные значения:

$l = \frac{V}{S_{осн}}$

Известно, что объем призмы $V = 30$ см³.

$l = \frac{30}{7,5} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Найдите ее боковое ребро.

9. Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны $\sqrt{3}$ см.

Объем призмы вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы.

В правильной шестиугольной призме основанием является правильный шестиугольник, а высота $h$ равна ее боковому ребру. По условию задачи, сторона основания $a = 1$ см, а высота $h = \sqrt{3}$ см.

Сначала найдем площадь основания. Правильный шестиугольник можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника, то есть $a = 1$ см.

Площадь одного такого равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение $a = 1$ см:$S_{\triangle} = \frac{1^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см².

Площадь всего основания (шестиугольника) будет в шесть раз больше:$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см².

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем призмы:$V = S_{осн} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}$.

$V = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$ см³.

Ответ: 4,5 см³.

10. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

10. Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством подобных тел. Если два тела подобны с коэффициентом подобия $k$, то отношение их объемов равно $k^3$.

В условии сказано, что все ребра правильного тетраэдра увеличивают в два раза. Это означает, что новый тетраэдр будет подобен исходному, а коэффициент подобия $k$ равен 2.
Следовательно, отношение нового объема ($V_{нов}$) к исходному ($V_{старый}$) будет:
$\frac{V_{нов}}{V_{старый}} = k^3 = 2^3 = 8$.
Таким образом, объем увеличится в 8 раз.

Этот результат можно также получить, используя формулу объема правильного тетраэдра. Объем правильного тетраэдра с длиной ребра $a$ вычисляется по формуле:
$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Пусть $V_1$ — это первоначальный объем тетраэдра с ребром $a$:
$V_1 = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

После увеличения ребра в два раза его новая длина станет $2a$. Новый объем $V_2$ будет равен:
$V_2 = \frac{(2a)^3\sqrt{2}}{12} = \frac{8a^3\sqrt{2}}{12}$

Найдем отношение нового объема к первоначальному:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{8a^3\sqrt{2}}{12}}{\frac{a^3\sqrt{2}}{12}} = 8$.

Оба способа показывают, что объем тетраэдра увеличится в 8 раз.
Ответ: в 8 раз.

11. Найдите объем пирамиды, высота которой равна $6 \text{ см}$, а основание— прямоугольник со сторонами $3 \text{ см}$ и $4 \text{ см}$.

Для решения этой задачи необходимо вычислить объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды выглядит следующим образом:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h$

где $V$ – объем пирамиды, $S_{осн}$ – площадь ее основания, а $h$ – высота пирамиды.

В условии задачи даны:

1. Высота пирамиды $h = 6$ см.

2. Основание пирамиды – это прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см.

Сначала найдем площадь основания ($S_{осн}$). Так как основание является прямоугольником, его площадь вычисляется как произведение его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем подставить эти значения в формулу для объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см}$

Выполним вычисления:

$V = 4 \text{ см}^2 \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$

Таким образом, объем пирамиды составляет 24 кубических сантиметра.

Ответ: $24 \text{ см}^3$.

12. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Ее объем равен $16 \text{ см}^3$. Найдите высоту этой пирамиды.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H$

где $V$ — объем пирамиды, $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. Основанием является прямоугольник со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон:

$S_{осн} = a \cdot b = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Теперь у нас есть значение объема $V = 16 \text{ см}^3$ и площади основания $S_{осн} = 12 \text{ см}^2$. Из формулы объема пирамиды выразим высоту $H$:

$H = \frac{3V}{S_{осн}}$

Подставим известные значения в формулу для высоты:

$H = \frac{3 \cdot 16 \text{ см}^3}{12 \text{ см}^2} = \frac{48}{12} \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.

13. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна $\sqrt{3}$ см.

13. Объем пирамиды находится по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Согласно условию, сторона основания $a = 1$ см. Вычислим площадь основания:
$S_{осн} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см$^2$.

Высота пирамиды дана и равна $h = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти объем пирамиды, подставив известные значения в формулу:
$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25$ см$^3$.

Ответ: $0,25$ см$^3$.

14. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны ос-
нования которой равны 2 см, а объем равен $\sqrt{3} \text{ см}^3$.

Для решения задачи воспользуемся формулой объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$, где $V$ — объем, $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

По условию задачи, сторона основания $a = 2$ см. Найдем площадь основания:

$S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см².

Теперь мы знаем объем пирамиды $V = \sqrt{3}$ см³ и площадь ее основания $S_{осн} = \sqrt{3}$ см². Подставим эти значения в формулу объема, чтобы найти высоту $H$:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} H$

$\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot H$

Чтобы найти $H$, выразим ее из уравнения. Для этого умножим обе части на 3 и разделим на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{3V}{S_{осн}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

площади которой равны $9 \text{ см}$, а объем равен $70 \text{ см}$.

15. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Обозначим первоначальный объем пирамиды как $V_1$, а ее первоначальную высоту как $h_1$. Тогда:$V_1 = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h_1$.

Согласно условию, высоту пирамиды увеличили в четыре раза, а площадь основания осталась неизменной. Новая высота $h_2$ будет равна $4 \cdot h_1$. Новый объем $V_2$ будет равен:$V_2 = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h_2 = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot (4 \cdot h_1)$.

Чтобы выяснить, во сколько раз увеличился объем, найдем отношение нового объема $V_2$ к первоначальному объему $V_1$:$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{1}{3}S_{осн} \cdot 4h_1}{\frac{1}{3}S_{осн} \cdot h_1}$.

После сокращения общих множителей ($\frac{1}{3}$, $S_{осн}$ и $h_1$) в числителе и знаменателе дроби, получаем:$\frac{V_2}{V_1} = 4$.

Таким образом, объем пирамиды увеличится в 4 раза.

Ответ: 4.