Страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

50. От треугольной пирамиды, объем которой равен $12 \text{ см}^3$, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Пусть исходная треугольная пирамида имеет объем $V_{исх}$, площадь основания $S_{исх}$ и высоту $H$. По условию, $V_{исх} = 12$ см³. Формула для объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} H$.Следовательно, $V_{исх} = \frac{1}{3} S_{исх} H = 12$ см³.

Отсеченная пирамида получается с помощью плоскости, проходящей через вершину исходной пирамиды и среднюю линию ее основания. Это означает, что отсеченная пирамида имеет ту же вершину и, следовательно, ту же высоту $H$, что и исходная пирамида, так как их основания лежат в одной плоскости.

Основанием отсеченной пирамиды является треугольник, который отсекается средней линией от основания исходной пирамиды. Обозначим площадь основания отсеченной пирамиды как $S_{отсеч}$.Пусть основание исходной пирамиды — треугольник $ABC$. Средняя линия, например $MN$ (где $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$), отсекает от него треугольник $MBN$.Треугольник $MBN$ подобен треугольнику $ABC$ по двум сторонам и углу между ними (угол $B$ общий, а $MB = \frac{1}{2}AB$ и $BN = \frac{1}{2}BC$). Коэффициент подобия $k = \frac{1}{2}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{отсеч}}{S_{исх}} = \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.Отсюда, $S_{отсеч} = \frac{1}{4} S_{исх}$.

Теперь можем найти объем отсеченной пирамиды $V_{отсеч}$:$V_{отсеч} = \frac{1}{3} S_{отсеч} H$Подставим выражение для $S_{отсеч}$:$V_{отсеч} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} S_{исх}) H = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{3} S_{исх} H)$Так как выражение в скобках является объемом исходной пирамиды $V_{исх}$, получаем:$V_{отсеч} = \frac{1}{4} V_{исх}$Подставляя значение $V_{исх} = 12$ см³, находим:$V_{отсеч} = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см³.

Ответ: 3 см³.

51. Объем треугольной пирамиды $SABC$ равен $15 \text{ см}^3$. Плоскость проходит через сторону $AB$ основания этой пирамиды и пересекает противолежащее боковое ребро в точке $D$, делящей ребро $SC$ в отношении $1 : 2$, считая от вершины $S$. Найдите объем пирамиды $DABC$.

Обозначим объем пирамиды $SABC$ как $V_{SABC}$, а объем пирамиды $DABC$ как $V_{DABC}$. По условию задачи, $V_{SABC} = 15 \text{ см}^3$.

Формула для вычисления объема пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

Для пирамиды $SABC$ с вершиной $S$ и основанием $ABC$ объем равен $V_{SABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_S$, где $S_{ABC}$ — площадь треугольника $ABC$, а $H_S$ — высота, опущенная из вершины $S$ на плоскость основания $ABC$.

Для пирамиды $DABC$ с вершиной $D$ и основанием $ABC$ объем равен $V_{DABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_D$, где $S_{ABC}$ — та же площадь основания, а $H_D$ — высота, опущенная из вершины $D$ на плоскость основания $ABC$.

Поскольку обе пирамиды имеют общее основание $ABC$, отношение их объемов равно отношению их высот:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_D}{\frac{1}{3} S_{ABC} \cdot H_S} = \frac{H_D}{H_S}$

Найдем отношение высот $H_D$ к $H_S$. Проведем из точек $S$ и $D$ перпендикуляры $SH'$ и $DH''$ к плоскости основания $ABC$. Тогда $H_S = SH'$ и $H_D = DH''$. Так как $SH'$ и $DH''$ перпендикулярны одной и той же плоскости, они параллельны друг другу ($SH' \parallel DH''$).

Рассмотрим треугольники $\triangle SH'C$ и $\triangle DH''C$. Они лежат в одной плоскости (плоскости, проходящей через прямую $SC$ и перпендикуляр $SH'$). Эти треугольники подобны по двум углам:

1. $\angle C$ — общий.

2. $\angle SH'C = \angle DH''C = 90^\circ$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{DH''}{SH'} = \frac{DC}{SC}$

Следовательно, $\frac{H_D}{H_S} = \frac{DC}{SC}$.

По условию, точка $D$ делит ребро $SC$ в отношении $1:2$, считая от вершины $S$. Это означает, что $SD:DC = 1:2$. Примем длину отрезка $SD$ за $x$, тогда длина отрезка $DC$ будет равна $2x$. Длина всего ребра $SC$ составит $SC = SD + DC = x + 2x = 3x$.

Теперь найдем отношение $\frac{DC}{SC}$:

$\frac{DC}{SC} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

Таким образом, отношение высот пирамид равно $\frac{2}{3}$:

$\frac{H_D}{H_S} = \frac{2}{3}$

Подставим это отношение в формулу для отношения объемов:

$\frac{V_{DABC}}{V_{SABC}} = \frac{2}{3}$

Отсюда выразим и вычислим объем пирамиды $DABC$:

$V_{DABC} = \frac{2}{3} \cdot V_{SABC} = \frac{2}{3} \cdot 15 \text{ см}^3 = 2 \cdot 5 \text{ см}^3 = 10 \text{ см}^3$.

Ответ: $10 \text{ см}^3$.

52. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

Пусть $V_1$, $h_1$ и $r_1$ — это объём, высота и радиус основания первой цилиндрической кружки, а $V_2$, $h_2$ и $r_2$ — соответствующие параметры второй кружки.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$. Следовательно, объёмы кружек равны:
$V_1 = \pi r_1^2 h_1$
$V_2 = \pi r_2^2 h_2$

Из условия задачи известно, что первая кружка вдвое выше второй. Это можно записать как $h_1 = 2h_2$. Отсюда следует, что высота второй кружки составляет половину высоты первой: $h_2 = \frac{1}{2}h_1$.

Также по условию вторая кружка в полтора раза шире первой. "Ширина" цилиндра — это его диаметр. Если диаметр второй кружки в 1,5 раза больше диаметра первой, то и её радиус в 1,5 раза больше радиуса первой: $r_2 = 1.5 \cdot r_1$.

Теперь найдём отношение объёма второй кружки к объёму первой, то есть $\frac{V_2}{V_1}$. Для этого подставим формулы объёмов и выразим параметры второй кружки через параметры первой:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\pi r_2^2 h_2}{\pi r_1^2 h_1} = \frac{\pi (1.5 r_1)^2 (\frac{1}{2} h_1)}{\pi r_1^2 h_1}$

Теперь упростим полученное выражение. Сократим $\pi$, $r_1^2$ и $h_1$:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(1.5)^2 \cdot r_1^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot h_1}{r_1^2 h_1} = (1.5)^2 \cdot \frac{1}{2}$

Осталось вычислить результат:
$(1.5)^2 = 2.25$
$\frac{V_2}{V_1} = 2.25 \cdot \frac{1}{2} = 1.125$

Ответ: 1,125

53. Объем конуса равен $12 \text{ см}^3$. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту пополам. Найдите объем отсеченного конуса.

Пусть $V$ — объем исходного конуса, $H$ — его высота, а $R$ — радиус его основания. По условию задачи, $V = 12 \text{ см}^3$.

Формула объема конуса: $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Сечение, проведенное параллельно основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, который подобен исходному. Оставшаяся часть представляет собой усеченный конус.

Пусть $h$ и $r$ — высота и радиус основания малого (отсеченного) конуса соответственно. Согласно условию, сечение делит высоту исходного конуса пополам, следовательно, высота малого конуса равна половине высоты большого конуса:

$h = \frac{H}{2}$

Так как малый конус подобен большому, коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{h}{H} = \frac{H/2}{H} = \frac{1}{2}$

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Обозначим объем малого конуса как $V_{малый}$. Тогда:

$\frac{V_{малый}}{V} = k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

Теперь мы можем вычислить объем малого конуса, зная объем большого:

$V_{малый} = V \cdot \frac{1}{8} = 12 \cdot \frac{1}{8} = \frac{12}{8} = 1.5 \text{ см}^3$.

Объем усеченного конуса, $V_{усеч}$, находится как разность объемов исходного конуса и отсеченного малого конуса:

$V_{усеч} = V - V_{малый} = 12 - 1.5 = 10.5 \text{ см}^3$.

Ответ: $10.5 \text{ см}^3$.

54. Высота конуса равна 6 см, образующая равна 10 см. Найдите его объем, деленный на $\pi$.

55. П

Для нахождения объема конуса необходимо знать его высоту и радиус основания. Высота нам дана, а радиус мы можем найти, используя теорему Пифагора.

Обозначим высоту конуса как $h$, образующую как $l$, и радиус основания как $r$. По условию задачи:
$h = 6$ см
$l = 10$ см

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ и радиус $r$ — катетами. Согласно теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + r^2$

Выразим и найдем квадрат радиуса $r^2$:
$r^2 = l^2 - h^2$
$r^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$
Следовательно, радиус $r = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим объем конуса $V$ по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
Подставим значения $r^2 = 64$ и $h = 6$:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 64 \cdot 6$
$V = \pi \cdot 64 \cdot \frac{6}{3}$
$V = \pi \cdot 64 \cdot 2$
$V = 128\pi$ см$^3$.

В задаче требуется найти значение объема, деленное на $\pi$:
$\frac{V}{\pi} = \frac{128\pi}{\pi} = 128$

Ответ: 128

55. Диаметр основания конуса равен 6 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на $\Pi$.

Для нахождения объема конуса используется формула $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $r$ – это радиус основания конуса, а $h$ – его высота. В условии требуется найти значение выражения $\frac{V}{\pi}$.

Сначала найдем радиус основания конуса. По условию, диаметр основания $d = 6$ см. Радиус равен половине диаметра:$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь найдем высоту конуса. Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса. Угол при вершине этого треугольника, согласно условию, равен $90^\circ$. Высота конуса $h$ является высотой этого равнобедренного треугольника, проведенной из вершины к основанию.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также биссектрисой и медианой. Это означает, что высота $h$ делит осевое сечение на два одинаковых прямоугольных треугольника. Катетами в каждом таком треугольнике являются высота конуса $h$ и радиус основания $r$. Угол при вершине конуса делится высотой пополам, поэтому угол, противолежащий катету $r$, будет равен $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Так как в полученном прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45^\circ$, то и второй острый угол тоже равен $180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равнобедренным, и его катеты равны между собой:$h = r$.

Поскольку $r = 3$ см, то и высота $h = 3$ см.

Теперь мы можем вычислить объем конуса, подставив значения $r$ и $h$ в формулу:$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot (3)^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 3 = 9\pi$ см$^3$.

Наконец, вычислим объем конуса, деленный на $\pi$:$\frac{V}{\pi} = \frac{9\pi}{\pi} = 9$.

Ответ: 9

56. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на $ \pi $.

Конус образуется вращением равнобедренного прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. По условию, длина катета, вокруг которого происходит вращение, равна 6. Следовательно, и второй катет тоже равен 6.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов получается конус, у которого высота $h$ равна этому катету, а радиус основания $r$ равен другому катету.

Таким образом, для нашего конуса имеем:

Высота $h = 6$.

Радиус основания $r = 6$.

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставим наши значения $r=6$ и $h=6$ в формулу:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 6 = \pi \cdot 12 \cdot 6 = 72\pi$

В задаче требуется найти объем, деленный на $\pi$, то есть $\frac{V}{\pi}$:

$\frac{V}{\pi} = \frac{72\pi}{\pi} = 72$

Ответ: 72

57. Радиусы трех шаров равны 6 см, 8 см и 10 см. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Для решения задачи нам понадобится формула для вычисления объема шара. Объем шара $V$ с радиусом $r$ определяется по формуле: $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

В задаче даны три шара с радиусами $r_1 = 6$ см, $r_2 = 8$ см и $r_3 = 10$ см. Найдем объем каждого из этих шаров.

Объем первого шара:

$V_1 = \frac{4}{3}\pi r_1^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216$ см$^3$.

Объем второго шара:

$V_2 = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 512$ см$^3$.

Объем третьего шара:

$V_3 = \frac{4}{3}\pi r_3^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1000$ см$^3$.

По условию задачи, объем нового шара $V_{нов}$ равен сумме объемов трех данных шаров: $V_{нов} = V_1 + V_2 + V_3$.

Вычислим суммарный объем:

$V_{нов} = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 + \frac{4}{3}\pi \cdot 512 + \frac{4}{3}\pi \cdot 1000$

Вынесем общий множитель $\frac{4}{3}\pi$ за скобки:

$V_{нов} = \frac{4}{3}\pi (216 + 512 + 1000)$

$V_{нов} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$ см$^3$.

Пусть $R$ — это радиус искомого шара. Его объем также выражается формулой $V_{нов} = \frac{4}{3}\pi R^3$. Приравняем это выражение к найденному нами суммарному объему:

$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 1728$

Сократим обе части равенства на $\frac{4}{3}\pi$:

$R^3 = 1728$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем кубический корень из 1728:

$R = \sqrt[3]{1728}$

Поскольку $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$, то:

$R = 12$ см.

Ответ: 12 см.

58. Основание прямой призмы – ромб, площадь которого равна $3 \text{ см}^2$.

Площади диагональных сечений равны $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Обозначим диагонали ромба, лежащего в основании прямой призмы, как $d_1$ и $d_2$, а высоту призмы — как $h$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. По условию задачи, $S_{осн} = 3$ см². Чтобы найти объем, нам необходимо определить высоту призмы $h$.

Площадь ромба в основании выражается через его диагонали: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставляя известное значение площади, получаем: $3 = \frac{1}{2} d_1 d_2$, откуда находим произведение диагоналей: $d_1 d_2 = 6$ см².

Так как призма прямая, ее диагональные сечения являются прямоугольниками. Сторонами этих прямоугольников служат диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота призмы $h$. Площади этих диагональных сечений, $S_1$ и $S_2$, равны: $S_1 = d_1 \cdot h$ $S_2 = d_2 \cdot h$

Согласно условию, площади диагональных сечений равны 8 см² и 12 см². Это дает нам систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($d_1, d_2, h$):
1) $d_1 d_2 = 6$
2) $d_1 \cdot h = 8$
3) $d_2 \cdot h = 12$

Чтобы решить эту систему, перемножим второе и третье уравнения: $(d_1 \cdot h) \cdot (d_2 \cdot h) = 8 \cdot 12$ $d_1 d_2 h^2 = 96$

Теперь мы можем подставить в это уравнение значение произведения $d_1 d_2$ из первого уравнения: $6 \cdot h^2 = 96$

Решим уравнение относительно $h$: $h^2 = \frac{96}{6}$ $h^2 = 16$ $h = \sqrt{16} = 4$ см (так как высота является положительной величиной).

Зная высоту призмы и площадь ее основания, мы можем найти объем: $V = S_{осн} \cdot h = 3 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^3$.

Ответ: 12 см³.

59. Площади трех граней прямоугольного параллелепипеда равны $2 \text{ см}^2$, $3 \text{ см}^2$, $6 \text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) равны $a$, $b$ и $c$. Объем параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Прямоугольный параллелепипед имеет три пары равных прямоугольных граней. Площади трех граней, имеющих общую вершину, определяются произведениями пар его измерений. Обозначим эти площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

$S_1 = a \cdot b$

$S_2 = b \cdot c$

$S_3 = a \cdot c$

Согласно условию задачи, нам даны значения этих площадей: $2 \, \text{см}^2$, $3 \, \text{см}^2$ и $6 \, \text{см}^2$. Таким образом, мы имеем систему уравнений:

$a \cdot b = 2$

$b \cdot c = 3$

$a \cdot c = 6$

Чтобы найти объем $V = a \cdot b \cdot c$, мы можем перемножить левые и правые части этих трех уравнений:

$(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 2 \cdot 3 \cdot 6$

Сгруппируем переменные в левой части:

$a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 36$

Это выражение можно записать как квадрат произведения $a \cdot b \cdot c$:

$(a \cdot b \cdot c)^2 = 36$

Так как $V = a \cdot b \cdot c$, то мы получаем:

$V^2 = 36$

Чтобы найти объем, извлечем квадратный корень из 36. Поскольку объем — это положительная величина, мы берем только арифметический корень:

$V = \sqrt{36} = 6$

Так как площади были даны в квадратных сантиметрах ($\text{см}^2$), то объем будет измеряться в кубических сантиметрах ($\text{см}^3$).

Ответ: $6 \, \text{см}^3$.

60. От куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, ребра которого равны 3 см, отсечены четыре треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани $ABCD$ параллельно ребру $AA_1$. Найдите объем оставшейся части.

Для решения задачи выполним следующие шаги: найдем объем исходного куба, затем вычислим объем одной отсекаемой треугольной призмы, умножим его на четыре (так как отсекается четыре одинаковых призмы по углам) и, наконец, вычтем суммарный объем отсеченных частей из объема всего куба.

1. Нахождение объема исходного куба

По условию, ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a = 3$ см. Объем куба вычисляется по формуле:

$V_{куба} = a^3$

Подставляем значение ребра:

$V_{куба} = 3^3 = 27$ см³.

2. Определение формы и объема одной отсеченной призмы

От куба отсекаются четыре одинаковые прямые треугольные призмы. Рассмотрим призму, отсекаемую у вершины $A$ нижнего основания. Секущая плоскость проходит через середины смежных ребер $AB$ и $AD$. Обозначим эти середины как $K$ и $L$ соответственно.

Поскольку ребро куба равно 3 см, то катеты прямоугольного треугольника $AKL$ (угол $\angle KAL = 90^\circ$) равны:

$AK = AL = \frac{a}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Площадь этого треугольника, который является основанием отсекаемой призмы, равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot AL = \frac{1}{2} \cdot 1.5 \cdot 1.5 = \frac{1}{2} \cdot 2.25 = 1.125$ см².

Высота отсекаемой призмы равна высоте куба, так как секущая плоскость параллельна ребру $AA_1$. Таким образом, высота призмы $h = a = 3$ см.

Объем одной такой треугольной призмы равен:

$V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = 1.125 \cdot 3 = 3.375$ см³.

3. Нахождение суммарного объема отсеченных частей

Всего от куба отсекается четыре одинаковые призмы по углам основания $ABCD$. Их суммарный объем $V_{отсеч}$ равен:

$V_{отсеч} = 4 \cdot V_{призмы} = 4 \cdot 3.375 = 13.5$ см³.

4. Нахождение объема оставшейся части

Чтобы найти объем оставшейся части $V_{ост}$, нужно из объема исходного куба вычесть суммарный объем четырех отсеченных призм:

$V_{ост} = V_{куба} - V_{отсеч} = 27 - 13.5 = 13.5$ см³.

Интересно отметить, что объем оставшейся части равен объему отсеченной, то есть от куба отрезали ровно половину его объема.

Ответ: $13.5$ см³.

61. Объем правильной шестиугольной призмы равен $12 \text{ см}^3$. Найдите объем призмы, вершинами оснований которой являются середины сторон оснований данной призмы.

Пусть $V_1$ – объем исходной правильной шестиугольной призмы, $S_1$ – площадь ее основания, а $h$ – ее высота. По условию, объем исходной призмы равен 12 см³.

$V_1 = S_1 \cdot h = 12$ см³

Новая призма имеет ту же высоту $h$, что и исходная. Ее основание — это новый правильный шестиугольник, вершины которого являются серединами сторон основания исходной призмы. Обозначим объем новой призмы как $V_2$, а площадь ее основания как $S_2$.

$V_2 = S_2 \cdot h$

Чтобы найти $V_2$, найдем отношение объемов двух призм. Поскольку их высоты одинаковы, отношение объемов равно отношению площадей их оснований:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{S_2 \cdot h}{S_1 \cdot h} = \frac{S_2}{S_1}$

Следовательно, $V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1}$.

Теперь найдем отношение площадей оснований $\frac{S_2}{S_1}$. Основания призм — подобные правильные шестиугольники. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Найдем этот коэффициент.

Пусть сторона исходного (большего) шестиугольника равна $a$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

Сторона нового (меньшего) шестиугольника, обозначим ее $b$, соединяет середины двух соседних сторон исходного шестиугольника. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами соседних сторон исходного шестиугольника и стороной нового шестиугольника. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами $\frac{a}{2}$ и углом между ними $120^\circ$. По теореме косинусов найдем квадрат стороны $b$:

$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -0.5 = -\frac{1}{2}$, получим:

$b^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot \frac{a^2}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{2a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

Отношение площадей $S_2$ и $S_1$ равно отношению квадратов их сторон:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{b^2}{a^2} = \frac{\frac{3a^2}{4}}{a^2} = \frac{3}{4}$

Теперь мы можем найти объем новой призмы $V_2$:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9$ см³

Ответ: 9 см³.

62. В куб с ребром 6 см вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию, $a = 6$ см. Правильный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками, а значит, все ребра равны. Чтобы вписать такой тетраэдр в куб, его вершины нужно разместить в четырех вершинах куба так, чтобы никакие две из них не были соединены ребром куба. В этом случае ребрами тетраэдра станут шесть диагоналей граней куба.

Найдем длину ребра тетраэдра, обозначим ее $b$. Ребро тетраэдра является диагональю грани куба, которая представляет собой квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора:

$b = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$

При $a = 6$ см, длина ребра тетраэдра равна:

$b = 6\sqrt{2}$ см.

Объем тетраэдра можно найти двумя способами.

Способ 1: Использование формулы объема правильного тетраэдра

Объем правильного тетраэдра с ребром $b$ вычисляется по формуле $V = \frac{b^3\sqrt{2}}{12}$. Подставим в нее значение $b = 6\sqrt{2}$ см:

$V_{тетр} = \frac{(6\sqrt{2})^3\sqrt{2}}{12} = \frac{6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{12} = \frac{216 \cdot 4}{12} = \frac{216}{3} = 72$ см³.

Способ 2: Метод вычитания объемов

Объем тетраэдра можно также найти, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" пирамид, которые отсекаются от куба гранями вписанного тетраэдра. Объем куба с ребром $a = 6$ см равен:

$V_{куба} = a^3 = 6^3 = 216$ см³.

Каждая из четырех отсекаемых угловых пирамид имеет в вершине прямой трехгранный угол, а ее ребра, выходящие из этой вершины, равны ребру куба $a$. Объем такой пирамиды (тетраэдра с взаимно перпендикулярными ребрами $a, a, a$) равен:

$V_{пир} = \frac{1}{6}a^3 = \frac{1}{6} \cdot 6^3 = \frac{216}{6} = 36$ см³.

Так как таких пирамид четыре, их суммарный объем составляет:

$V_{отсеч} = 4 \cdot V_{пир} = 4 \cdot 36 = 144$ см³.

Тогда объем вписанного тетраэдра равен разности объемов куба и отсеченных пирамид:

$V_{тетр} = V_{куба} - V_{отсеч} = 216 - 144 = 72$ см³.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 72 см³.