Номер 58, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

58. Основание прямой призмы – ромб, площадь которого равна $3 \text{ см}^2$.

Площади диагональных сечений равны $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$. Найдите объем призмы.

Обозначим диагонали ромба, лежащего в основании прямой призмы, как $d_1$ и $d_2$, а высоту призмы — как $h$.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания. По условию задачи, $S_{осн} = 3$ см². Чтобы найти объем, нам необходимо определить высоту призмы $h$.

Площадь ромба в основании выражается через его диагонали: $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Подставляя известное значение площади, получаем: $3 = \frac{1}{2} d_1 d_2$, откуда находим произведение диагоналей: $d_1 d_2 = 6$ см².

Так как призма прямая, ее диагональные сечения являются прямоугольниками. Сторонами этих прямоугольников служат диагонали основания ($d_1$ и $d_2$) и высота призмы $h$. Площади этих диагональных сечений, $S_1$ и $S_2$, равны: $S_1 = d_1 \cdot h$ $S_2 = d_2 \cdot h$

Согласно условию, площади диагональных сечений равны 8 см² и 12 см². Это дает нам систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($d_1, d_2, h$):
1) $d_1 d_2 = 6$
2) $d_1 \cdot h = 8$
3) $d_2 \cdot h = 12$

Чтобы решить эту систему, перемножим второе и третье уравнения: $(d_1 \cdot h) \cdot (d_2 \cdot h) = 8 \cdot 12$ $d_1 d_2 h^2 = 96$

Теперь мы можем подставить в это уравнение значение произведения $d_1 d_2$ из первого уравнения: $6 \cdot h^2 = 96$

Решим уравнение относительно $h$: $h^2 = \frac{96}{6}$ $h^2 = 16$ $h = \sqrt{16} = 4$ см (так как высота является положительной величиной).

Зная высоту призмы и площадь ее основания, мы можем найти объем: $V = S_{осн} \cdot h = 3 \text{ см}^2 \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^3$.

Ответ: 12 см³.