Страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина куба $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Тогда ребро единичного куба равно 1, и координаты его вершин будут:

$A(0, 0, 0)$, $B(1, 0, 0)$, $C(1, 1, 0)$, $D(0, 1, 0)$,

$A_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 0, 1)$, $C_1(1, 1, 1)$, $D_1(0, 1, 1)$.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Координаты середины ребра $BC$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 0.5, 0)$.

Координаты середины ребра $B_1C_1$: $M_1 = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (1, 0.5, 1)$.

Таким образом, ось вращения $c$ – это прямая, заданная уравнениями $x=1, y=0.5$, параллельная оси $Oz$.

Тело вращения, полученное при вращении куба вокруг этой оси, представляет собой обобщенный цилиндр высотой $h=1$. Основанием этого цилиндра является фигура, которую заметает квадрат $ABCD$ при вращении в плоскости $z=0$ вокруг точки $(1, 0.5)$.

Объем

Объем тела вращения $V$ равен произведению площади его основания $S_{осн}$ на высоту $h$.

$V = S_{осн} \cdot h$

Высота тела вращения равна высоте куба, $h=1$.

Основание тела вращения — это фигура, полученная вращением квадрата с вершинами $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ вокруг точки $P(1, 0.5)$. Эта фигура представляет собой круг, так как ось вращения находится на границе квадрата (на ребре $BC$).

Радиус этого круга $R$ равен максимальному расстоянию от точек квадрата до оси вращения. Найдем расстояние от каждой вершины квадрата до точки $P(1, 0.5)$:

$PA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$PB = \sqrt{(1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0 + 0.25} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$PC = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{0 + 0.25} = \sqrt{0.25} = 0.5$

$PD = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{1 + 0.25} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Максимальное расстояние $R_{max}$ равно $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Минимальное расстояние $R_{min}$ равно 0, так как ось вращения проходит через ребро куба.

Следовательно, основанием тела вращения является круг радиусом $R = R_{max} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Площадь основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5\pi}{4}$.

Объем тела вращения:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{5\pi}{4} \cdot 1 = \frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $V = \frac{5\pi}{4}$.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площади двух оснований (верхнего и нижнего) $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь одного основания мы уже нашли: $S_{осн} = \frac{5\pi}{4}$. Таким образом, $2S_{осн} = 2 \cdot \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}$.

Боковая поверхность образуется при вращении четырех вертикальных граней куба. Ее площадь можно найти, проинтегрировав длину пути $2\pi r$ вдоль периметра основания (квадрата $ABCD$) и умножив на высоту $h=1$. Расстояние от точки $(x,y)$ на периметре до оси вращения $(1, 0.5)$ равно $r(x,y) = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0.5)^2}$.

$S_{бок} = h \oint_{ABCD} 2\pi r(x,y) dl = 2\pi \oint_{ABCD} r(x,y) dl$

Разобьем интеграл по четырем сторонам квадрата:

1. Сторона $AB$ ($y=0, x \in [0,1]$): $r(x,0) = \sqrt{(x-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 0.25}$.

$\int_0^1 \sqrt{(x-1)^2 + 0.25} dx = \left[ \frac{x-1}{2}\sqrt{(x-1)^2+0.25} + \frac{0.25}{2}\ln(x-1+\sqrt{(x-1)^2+0.25}) \right]_0^1 = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})$

2. Сторона $BC$ ($x=1, y \in [0,1]$): $r(1,y) = \sqrt{(1-1)^2 + (y-0.5)^2} = |y-0.5|$.

$\int_0^1 |y-0.5| dy = \int_0^{0.5} (0.5-y) dy + \int_{0.5}^1 (y-0.5) dy = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

3. Сторона $CD$ ($y=1, x \in [0,1]$, интегрируем от $x=1$ до $x=0$): $r(x,1) = \sqrt{(x-1)^2 + (1-0.5)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + 0.25}$. Интеграл такой же, как для $AB$.

$\int_0^1 \sqrt{(x-1)^2 + 0.25} dx = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})$

4. Сторона $DA$ ($x=0, y \in [0,1]$, интегрируем от $y=1$ до $y=0$): $r(0,y) = \sqrt{(0-1)^2 + (y-0.5)^2} = \sqrt{1 + (y-0.5)^2}$.

$\int_0^1 \sqrt{1+(y-0.5)^2} dy = \left[ \frac{y-0.5}{2}\sqrt{1+(y-0.5)^2} + \frac{1}{2}\ln(y-0.5+\sqrt{1+(y-0.5)^2}) \right]_0^1 = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+\sqrt{5}}{-1+\sqrt{5}}\right) = \frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Суммируем все четыре интеграла:

$\oint r dl = \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})\right) + \frac{1}{4} + \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{8}\ln(2+\sqrt{5})\right) + \left(\frac{\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\right)$

$\oint r dl = \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)$.

Теперь находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2\pi \left( \frac{1}{4} + \frac{3\sqrt{5}}{4} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt{5}) + \frac{1}{2}\ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right) = \pi\left( \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.

Полная площадь поверхности:

$S = 2S_{осн} + S_{бок} = \frac{5\pi}{2} + \pi\left( \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$

$S = \pi\left( \frac{5}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$

$S = \pi\left( 3 + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.

Ответ: $S = \pi\left( 3 + \frac{3\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}\ln(2+\sqrt{5}) + \ln\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right) \right)$.

7. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей высоту $DH$ этого тетраэдра.

Пусть дан единичный правильный тетраэдр $ABCD$, ребро которого равно $a=1$. Высота тетраэдра $DH$ опущена из вершины $D$ на основание $ABC$. В правильном тетраэдре основанием высоты является центр описанной (и вписанной) окружности основания, то есть точка $H$ — центр равностороннего треугольника $ABC$.

Тело вращения, полученное при вращении тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой, содержащей его высоту $DH$, представляет собой конус. Вершина конуса совпадает с вершиной $D$ тетраэдра. Основанием конуса является круг, который описывают вершины $A$, $B$ и $C$ при вращении вокруг точки $H$. Образующей конуса является любое из боковых ребер тетраэдра, например, $DA$.

Для нахождения объема и площади поверхности этого конуса необходимо определить его основные параметры: радиус основания $r$, высоту $h$ и длину образующей $l$.

1. Длина образующей $l$. Образующая конуса равна длине ребра тетраэдра, то есть $l = DA = a = 1$.

2. Радиус основания $r$. Радиус основания конуса равен расстоянию от центра $H$ равностороннего треугольника $ABC$ до его вершин, например, $r = AH$. Это радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $a=1$, получаем: $r = AH = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Высота конуса $h$. Высота конуса совпадает с высотой тетраэдра $DH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHD$ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора: $DA^2 = AH^2 + DH^2$ $l^2 = r^2 + h^2$ $1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + h^2$ $1 = \frac{3}{9} + h^2$ $1 = \frac{1}{3} + h^2$ $h^2 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $h = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Теперь мы можем вычислить объем и площадь поверхности полученного конуса.

Объем

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$. Подставим найденные значения $r$ и $h$: $V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{3}{9}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{6}}{27}$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$. $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l$.

Вычислим площадь основания: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \left(\frac{3}{9}\right) = \frac{\pi}{3}$.

Вычислим площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi r l = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$.

Сложим обе площади, чтобы найти полную площадь поверхности: $S = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.

Ответ: $S = \frac{\pi(1+\sqrt{3})}{3}$.

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Тело, полученное при вращении правильной четырехугольной пирамиды SABCD вокруг ее высоты SH, представляет собой конус. Ось вращения — это высота пирамиды, которая соединяет вершину S с центром основания H. Основанием конуса является круг, описанный вокруг квадрата ABCD, а образующая конуса равна боковому ребру пирамиды.

Найдем параметры этого конуса. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см. Это означает, что сторона основания a = 1 см, и боковое ребро (которое станет образующей конуса l) также равно 1 см.

1. Образующая конуса (l): $l = 1$ см.

2. Радиус основания конуса (R): Радиус R равен половине диагонали квадрата в основании. Диагональ квадрата со стороной $a=1$ см равна $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота конуса (h): Высота конуса h совпадает с высотой пирамиды SH. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой SH, радиусом HA=R и боковым ребром SA=l. По теореме Пифагора:

$h^2 = SH^2 = SA^2 - HA^2 = l^2 - R^2$

$h^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса ($R = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $l = 1$), мы можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставляем найденные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².

Площадь полной поверхности равна их сумме:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi(1+\sqrt{2})}{2}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(1+\sqrt{2})}{2}$ см².

9. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, стороны основания которой равны 1 см, а боковые ребра равны 2 см, вокруг прямой, содержащей высоту SH этой пирамиды.

Объем тела вращения

При вращении правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$ вокруг своей высоты $SH$ образуется конус. Вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды $S$, а основанием конуса является круг, описанный около основания пирамиды.

Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен длине его стороны. По условию, сторона основания $a = 1$ см, следовательно, $R = a = 1$ см.

Образующая конуса $L$ равна боковому ребру пирамиды. По условию, боковое ребро $SA = 2$ см, следовательно, $L = 2$ см.

Высота конуса $h$ совпадает с высотой пирамиды $SH$. Мы можем найти ее, рассмотрев прямоугольный треугольник $SHA$, где $SA$ — гипотенуза ($L$), $HA$ — катет ($R$), и $SH$ — катет ($h$). По теореме Пифагора:

$h^2 + R^2 = L^2$

$h = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$

Подставим найденные значения:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} = \frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{3}}{3}$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади его основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Подставляя значение радиуса $R=1$ см, получаем:

$S_{осн} = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi R L$

Подставляя значения радиуса $R=1$ см и образующей $L=2$ см, получаем:

$S_{бок} = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$ см$^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности тела вращения:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi + 2\pi = 3\pi$ см$^2$.

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $3\pi$ см$^2$.

10. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Задача состоит в нахождении объема и площади поверхности тела, полученного при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг одного из ее боковых ребер. Пусть сторона основания призмы и ее высота равны $a = 1$ см.

Объем тела вращения

Тело вращения образуется вращением призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вокруг прямой $AA_1$. Объем такого тела можно найти, рассмотрев его поперечное сечение. Сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения $AA_1$, в любой точке на высоте от 0 до 1 будет одинаковым. Это сечение представляет собой фигуру, которую заметает основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ — при вращении вокруг вершины A.

Поскольку шестиугольник является выпуклой фигурой, при его вращении вокруг вершины A он полностью заметает круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от точки A до любой другой точки шестиугольника. В правильном шестиугольнике таким максимальным расстоянием является длина его большой диагонали, исходящей из вершины A, то есть диагонали AD.

Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому радиус вращения $R = AD = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь поперечного сечения тела вращения (площадь круга радиусом R) равна:

$S_{сеч} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Объем тела вращения равен произведению площади поперечного сечения на высоту призмы $h = AA_1 = 1$ см.

$V = S_{сеч} \cdot h = 4\pi \cdot 1 = 4\pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $4\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Чтобы определить форму и площадь поверхности тела вращения, рассмотрим, какие объемы создают отдельные грани призмы при вращении вокруг оси $AA_1$.

Найдем расстояния от вершин основания до оси вращения $A$ (вершина A находится на оси):

- Расстояние до B: $r_B = AB = a = 1$ см.

- Расстояние до F: $r_F = AF = a = 1$ см.

- Расстояние до C: $r_C = AC$ (короткая диагональ) $= a\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

- Расстояние до E: $r_E = AE = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

- Расстояние до D: $r_D = AD$ (длинная диагональ) $= 2a = 2$ см.

При вращении призмы каждая ее боковая грань (квадрат со стороной 1) создает определенный объем:

- Грани $ABB_1A_1$ и $AFF_1A_1$ вращаются вокруг своего ребра $AA_1$. Они обе создают один и тот же сплошной цилиндр радиусом $r_B = 1$ см и высотой $h=1$ см.

- Грани $BCB_1C_1$ и $EFE_1F_1$ создают тело вращения, заполняющее пространство между цилиндрами с радиусами $r_B=1$ см и $r_C=\sqrt{3}$ см.

- Грани $CDD_1C_1$ и $DED_1E_1$ создают тело вращения, заполняющее пространство между цилиндрами с радиусами $r_C=\sqrt{3}$ см и $r_D=2$ см.

Объединение всех этих тел вращения, созданных гранями, и есть искомое тело вращения. В результате объединения получается сплошной цилиндр с максимальным радиусом $R = r_D = 2$ см и высотой $h = 1$ см.

Следовательно, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр. Площадь его поверхности складывается из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга радиусом $R=2$ см):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 4\pi + 4\pi = 8\pi + 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $12\pi$ см$^2$.

11. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного тетраэдра $ABCD$ вокруг прямой $AB$.

По условию, тетраэдр $ABCD$ является единичным, а значит, правильным. Все его ребра равны 1 ($a=1$), а все грани – равносторонние треугольники со стороной 1.

Тело вращения образуется при вращении тетраэдра вокруг прямой, содержащей ребро $AB$. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси вращения, поэтому они остаются неподвижными. Вершины $C$ и $D$ вращаются вокруг прямой $AB$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной 1. При вращении вокруг стороны $AB$ вершина $C$ описывает окружность. Центр этой окружности лежит на прямой $AB$ и является серединой отрезка $AB$ (так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой). Обозначим эту середину точкой $O$.

Аналогично, при вращении треугольника $ABD$ вокруг стороны $AB$ вершина $D$ описывает ту же самую окружность, что и вершина $C$, так как треугольник $ABD$ также является равносторонним и конгруэнтен треугольнику $ABC$.

Таким образом, тело вращения представляет собой два одинаковых конуса, соединенных основаниями. Вершина первого конуса – точка $A$, вершина второго – точка $B$. Общее основание – это окружность, которую описывают точки $C$ и $D$ при вращении.

Найдем параметры этих конусов:

• Образующая конуса ($l$) равна длине ребер $AC$ и $BC$. Таким образом, $l = a = 1$.

• Высота каждого конуса ($h$) равна половине длины ребра $AB$. Таким образом, $h = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$.

• Радиус основания конуса ($r$) равен расстоянию от вершины $C$ (или $D$) до оси вращения $AB$. Это расстояние равно высоте равностороннего треугольника $ABC$ (или $ABD$), проведенной из вершины $C$ (или $D$). Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Объем

Объем тела вращения равен сумме объемов двух одинаковых конусов.

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$.

Общий объем $V$ равен:

$V = 2 \cdot V_{конуса} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi r^2 h = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6\pi}{24} = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов (основания конусов находятся внутри тела и в площадь поверхности не входят).

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi r l$.

Общая площадь поверхности $S$ равна:

$S = 2 \cdot S_{бок} = 2 \cdot \pi r l = 2 \cdot \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$.

Ответ: $\pi\sqrt{3}$

12. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения единичного октаэдра $S'ABCD S''$ вокруг прямой $S'S''$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения

Единичный октаэдр — это правильный многогранник, все 12 ребер которого имеют длину $a=1$. Для определения его геометрических параметров поместим центр октаэдра в начало координат $(0,0,0)$. Тогда его 6 вершин можно расположить в точках $(\pm k, 0, 0)$, $(0, \pm k, 0)$, $(0, 0, \pm k)$. Длина ребра $a$ такого октаэдра равна расстоянию между двумя любыми соседними вершинами, например, между $(k,0,0)$ и $(0,k,0)$:

$a = \sqrt{(k-0)^2 + (0-k)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{k^2+k^2} = k\sqrt{2}$

Поскольку октаэдр единичный, $a=1$, следовательно, $k\sqrt{2}=1$, откуда $k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ось вращения S'S'' проходит через две противоположные вершины. Расположим эти вершины на оси Oz: S'$(0, 0, k)$ и S''$(0, 0, -k)$. Таким образом, осью вращения является ось Oz. Тело, полученное при вращении октаэдра вокруг оси S'S'', представляет собой два одинаковых конуса, соединенных общим основанием. Найдем параметры этих конусов. Радиус основания $R$ равен расстоянию от любой из четырех вершин в экваториальной плоскости (например, A$(k,0,0)$) до оси вращения, то есть $R = k = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Высота $h$ каждого конуса равна расстоянию от его вершины (например, S') до плоскости основания, то есть $h = k = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Образующая $l$ конуса равна длине ребра октаэдра, то есть $l = a = 1$.

Объем тела вращения

Объем $V$ тела вращения равен сумме объемов двух конусов. Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^2 h$, следовательно, полный объем тела равен $V = 2 \cdot \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставив найденные значения $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$V = \frac{2}{3}\pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{3}\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$

Ответ: $V = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}$.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь поверхности $S$ тела вращения равна сумме площадей боковых поверхностей двух конусов. Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$, следовательно, полная площадь поверхности равна $S = 2 \pi R l$. Подставив найденные значения $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $l=1$, получаем:

$S = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{2}$

Ответ: $S = \pi\sqrt{2}$.

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Обозначим эти середины как $M$ и $M_1$ соответственно.

Поскольку призма правильная, ее основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$ см, а боковые ребра перпендикулярны основаниям и равны $h=1$ см. Ось вращения $MM_1$ параллельна боковым ребрам и перпендикулярна основаниям.

Тело вращения можно представить как результат движения поперечного сечения призмы (равностороннего треугольника) вдоль оси вращения на высоту призмы. Рассмотрим поперечное сечение на примере основания $ABC$. Ось вращения проходит через точку $M$ — середину стороны $BC$.

При вращении треугольника $ABC$ вокруг точки $M$ в плоскости основания, каждая точка треугольника описывает окружность с центром в $M$. Чтобы определить форму и размер фигуры, которую заметает треугольник, найдем максимальное расстояние от точки $M$ до точек треугольника.

Точка $A$ находится на наибольшем удалении от точки $M$. Расстояние $AM$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$. Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому радиус вращения $R = AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Минимальное расстояние от оси вращения до точки в треугольнике равно нулю, так как сама точка $M$ (и вся ось $MM_1$) принадлежит призме (лежит на грани $BCC_1B_1$).

Поскольку треугольник является связной фигурой, при его вращении вокруг точки $M$ он полностью заметает круг (диск) с радиусом, равным максимальному расстоянию, то есть $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Так как это поперечное сечение одинаково на любой высоте призмы, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр с высотой $h=1$ см и радиусом основания $R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$.

Подставляем наши значения:

$R = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см

$h = 1$ см

$V = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$ см$^3$.

Площадь полной поверхности цилиндра состоит из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания: $S_{осн} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\pi}{4}$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь полной поверхности тела вращения:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot \frac{3\pi}{4} + \pi\sqrt{3} = \frac{3\pi}{2} + \pi\sqrt{3} = \pi\left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см$^2$.

Ответ: $\pi\left(\frac{3}{2} + \sqrt{3}\right)$ см$^2$.

14. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через середины ребер $BC$ и $B_1 C_1$.

Объем

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся второй теоремой Паппа-Гюльдена: объем тела вращения равен произведению объема исходной фигуры на длину окружности, которую описывает ее центр масс при вращении. Формула имеет вид: $V_{вращ} = 2\pi \cdot d_c \cdot V_{призмы}$, где $V_{призмы}$ — объем исходной призмы, а $d_c$ — расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

1. Найдем объем правильной шестиугольной призмы.

По условию, все ребра призмы равны 1 см. Это значит, что сторона основания $a=1$ см и высота призмы $h=1$ см.

Площадь правильного шестиугольника (основания призмы) вычисляется по формуле: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

Подставляя $a=1$ см, получаем: $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Объем призмы: $V_{призмы} = S_{осн} \cdot h = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

2. Найдем расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

Ось вращения $c$ проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$. Центр масс правильной призмы находится в ее геометрическом центре, то есть в середине отрезка, соединяющего центры оснований.

Расстояние от центра правильного шестиугольника до середины любой его стороны равно апофеме, которая вычисляется по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае, $a=1$ см, поэтому расстояние от центра основания до середины ребра $BC$ равно $d_c = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Так как ось вращения параллельна высоте призмы и проходит через середины ребер $BC$ и $B_1C_1$, это расстояние и есть расстояние от центра масс призмы до оси вращения.

3. Вычислим объем тела вращения.

$V_{вращ} = 2\pi \cdot d_c \cdot V_{призмы} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{9\pi}{2}$ см$^3$.

Площадь поверхности

Для нахождения площади поверхности тела вращения воспользуемся первой теоремой Паппа-Гюльдена. Площадь поверхности, образованной вращением всех ребер призмы, равна сумме площадей, образованных вращением каждого ребра. Площадь, образованная вращением отрезка (ребра), равна $S_i = 2\pi \cdot d_i \cdot L_i$, где $L_i$ — длина ребра, а $d_i$ — расстояние от середины ребра до оси вращения. Так как все ребра призмы равны $L_i=1$ см, итоговая площадь равна $S = \sum_{i=1}^{18} 2\pi d_i = 2\pi \sum_{i=1}^{18} d_i$.

Для вычисления расстояний введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$, а высота призмы направлена вдоль оси $Oz$. Ось вращения $c$ параллельна оси $Oz$. Разместим основание так, чтобы ось вращения $c$ имела координаты $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y=0$. Ось $c$ является прямой, проходящей через точки $M(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$ и $M_1(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 1)$. Расстояние от точки с координатами $(x_p, y_p, z_p)$ до оси $c$ равно $d = \sqrt{(x_p - \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + y_p^2}$.

Координаты вершин нижнего основания ($a=1$):
$A(0, -1, 0)$, $B(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$, $C(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $D(0, 1, 0)$, $E(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, $F(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$.
Координаты вершин верхнего основания имеют те же $x, y$, но $z=1$.

1. Найдем расстояния от середин ребер оснований до оси вращения.

Ребра нижнего и верхнего оснований симметричны, поэтому расстояния для их середин будут одинаковы. Посчитаем для нижнего основания:

• Середина $BC$: $M(\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$. Расстояние $d_{BC} = 0$.
• Середина $AB$: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{AB} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{3}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Середина $CD$: $(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{CD} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{4})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Середина $DE$: $(-\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{DE} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{3}{4})^2} = \sqrt{(-\frac{3\sqrt{3}}{4})^2 + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{27}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{36}{16}} = \frac{3}{2}$.
• Середина $FA$: $(-\frac{\sqrt{3}}{4}, -\frac{3}{4}, 0)$. Расстояние $d_{FA} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{2}$.
• Середина $EF$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0, 0)$. Расстояние $d_{EF} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$.

Сумма расстояний для ребер одного основания: $0 + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = 3 + 2\sqrt{3}$.
Сумма для двух оснований: $2 \cdot (3 + 2\sqrt{3}) = 6 + 4\sqrt{3}$.

2. Найдем расстояния от середин боковых ребер до оси вращения.

Середины боковых ребер имеют координату $z=\frac{1}{2}$.

• Середина $AA_1$: $(0, -1, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{AA_1} = \sqrt{(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
• Середина $DD_1$: $(0, 1, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{DD_1} = \sqrt{(0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.
• Середина $BB_1$: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{BB_1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
• Середина $CC_1$: $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{CC_1} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}$.
• Середина $EE_1$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{EE_1} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + \frac{1}{4}} = \sqrt{3+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.
• Середина $FF_1$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Расстояние $d_{FF_1} = \sqrt{(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Сумма расстояний для боковых ребер: $2 \cdot \frac{\sqrt{7}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \sqrt{7} + 1 + \sqrt{13}$.

3. Вычислим полную площадь поверхности вращения.

Сумма всех расстояний: $\sum d_i = (6 + 4\sqrt{3}) + (1 + \sqrt{7} + \sqrt{13}) = 7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13}$.

Площадь поверхности: $S = 2\pi \sum d_i = 2\pi (7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13})$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $2\pi (7 + 4\sqrt{3} + \sqrt{7} + \sqrt{13})$ см$^2$.