Номер 8, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

8. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой, содержащей высоту $SH$ этой пирамиды.

Тело, полученное при вращении правильной четырехугольной пирамиды SABCD вокруг ее высоты SH, представляет собой конус. Ось вращения — это высота пирамиды, которая соединяет вершину S с центром основания H. Основанием конуса является круг, описанный вокруг квадрата ABCD, а образующая конуса равна боковому ребру пирамиды.

Найдем параметры этого конуса. По условию, все ребра пирамиды равны 1 см. Это означает, что сторона основания a = 1 см, и боковое ребро (которое станет образующей конуса l) также равно 1 см.

1. Образующая конуса (l): $l = 1$ см.

2. Радиус основания конуса (R): Радиус R равен половине диагонали квадрата в основании. Диагональ квадрата со стороной $a=1$ см равна $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, радиус $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

3. Высота конуса (h): Высота конуса h совпадает с высотой пирамиды SH. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой SH, радиусом HA=R и боковым ребром SA=l. По теореме Пифагора:

$h^2 = SH^2 = SA^2 - HA^2 = l^2 - R^2$

$h^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь, зная все параметры конуса ($R = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $h = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $l = 1$), мы можем найти его объем и площадь поверхности.

Объем тела вращения

Объем конуса вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$. Подставляем найденные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi\sqrt{2}}{12}$

Ответ: объем тела вращения равен $\frac{\pi\sqrt{2}}{12}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле $S_{осн} = \pi R^2$:

$S_{осн} = \pi \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{2}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi R l$:

$S_{бок} = \pi \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{2}}{2}$ см².

Площадь полной поверхности равна их сумме:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi(1+\sqrt{2})}{2}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $\frac{\pi(1+\sqrt{2})}{2}$ см².