Номер 3, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

границ ПВОВ и $A_1B_1C_1$.

3. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ являются равносторонними треугольниками со стороной $a=1$ см, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям и их длина (высота призмы) также равна $H=1$ см.

Тело вращения образуется при вращении этой призмы вокруг прямой $AA_1$, содержащей боковое ребро.

Объем

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся методом параллельных сечений. Объем $V$ можно вычислить по формуле $V = \int_{0}^{H} S(z) dz$, где $H$ - высота тела, а $S(z)$ - площадь поперечного сечения на высоте $z$.

В нашем случае ось вращения - это прямая $AA_1$, поэтому высота тела вращения равна высоте призмы, $H = AA_1 = 1$ см.

Рассмотрим поперечное сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси $AA_1$ на произвольной высоте $z$ ($0 \le z \le 1$). Это сечение представляет собой фигуру, образованную вращением сечения призмы на той же высоте вокруг точки пересечения с осью $AA_1$. Сечением призмы является равносторонний треугольник со стороной 1 см, вращающийся вокруг одной из своих вершин.

Максимальное расстояние от центра вращения (вершины треугольника) до любой точки треугольника равно длине его стороны, то есть 1 см. Любая точка, находящаяся на расстоянии $r \le 1$ от центра вращения, будет покрыта треугольником при некотором угле поворота. Следовательно, фигура, образуемая вращением треугольника, — это круг радиусом $R=1$ см.

Площадь этого круга (поперечного сечения) постоянна для любой высоты $z$ и равна: $S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см$^2$.

Теперь можем вычислить объем тела вращения: $V = S \cdot H = \pi \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Ответ: $\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности

Площадь полной поверхности тела вращения $S_{полн}$ складывается из площадей двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

1. Площадь оснований. Нижнее основание тела вращения образуется при вращении треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$. Как мы уже выяснили, это круг радиусом $R=1$ см. Его площадь $S_{нижн} = \pi R^2 = \pi$ см$^2$. Аналогично, верхнее основание образуется вращением треугольника $A_1B_1C_1$ вокруг вершины $A_1$ и представляет собой такой же круг. Его площадь $S_{верхн} = \pi$ см$^2$.

2. Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность тела вращения образуется вращением тех частей боковой поверхности призмы, которые наиболее удалены от оси вращения $AA_1$. На любой высоте $z$ наиболее удаленными от оси точками призмы являются точки на ребрах $BB_1$ и $CC_1$. Эти ребра находятся на постоянном расстоянии $R=1$ см от оси вращения. При вращении они описывают боковую поверхность прямого кругового цилиндра.

Радиус этого цилиндра $R=1$ см, а высота $H=1$ см. Площадь его боковой поверхности равна: $S_{бок} = 2\pi R H = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

3. Полная площадь поверхности. Суммируем площади оснований и боковой поверхности: $S_{полн} = S_{нижн} + S_{верхн} + S_{бок} = \pi + \pi + 2\pi = 4\pi$ см$^2$.

Ответ: $4\pi$ см$^2$.