Номер 24, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 1 см вокруг прямой c, проходящей через середины сторон AB и DE.

Пусть дан правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $a = 1$ см. Ось вращения $c$ проходит через середины сторон $AB$ и $DE$. Обозначим центр шестиугольника как $O$. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников со стороной $a=1$.

Ось вращения $c$ является осью симметрии шестиугольника. Расстояние от центра $O$ до любой вершины равно стороне шестиугольника, то есть $1$ см. Расстояние от центра до середины любой стороны (апофема) равно высоте равностороннего треугольника со стороной $1$: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Ось вращения $c$ соединяет середины противоположных сторон, поэтому ее длина равна удвоенной апофеме, то есть $\sqrt{3}$ см.

Тело вращения, полученное при вращении шестиугольника вокруг оси $c$, состоит из двух одинаковых усеченных конусов, соединенных большими основаниями.

Нахождение объема

Объем всего тела вращения равен удвоенному объему одного усеченного конуса. Рассмотрим усеченный конус, который образуется при вращении трапеции $BCDO'$, где $O'$ - центр шестиугольника (точка на оси вращения), а $D$ и $C$ - вершины шестиугольника. Вращение происходит вокруг отрезка $O'N$, где $N$ - середина стороны $DE$.

Радиусы оснований этого усеченного конуса равны расстояниям от вершин $C$ и $D$ до оси вращения.

Больший радиус $R$ — это расстояние от вершины $C$ до оси $c$. Оно равно стороне шестиугольника, так как $C$ и $F$ - наиболее удаленные от оси вершины. $R = a = 1$ см.

Меньший радиус $r$ — это расстояние от вершины $D$ до оси $c$. Оно равно половине стороны $DE$, так как ось проходит через середину $DE$. $r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Высота усеченного конуса $h_{фр}$ — это половина длины оси вращения, то есть равна апофеме шестиугольника. $h_{фр} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле: $V_{фр} = \frac{1}{3} \pi h_{фр} (R^2 + Rr + r^2)$

Подставим наши значения: $V_{фр} = \frac{1}{3} \pi \frac{\sqrt{3}}{2} \left(1^2 + 1 \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \left(\frac{4+2+1}{4}\right) = \frac{\pi\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{24}$ см³.

Общий объем тела вращения $V$ равен удвоенному объему усеченного конуса: $V = 2 \cdot V_{фр} = 2 \cdot \frac{7\pi\sqrt{3}}{24} = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Ответ: $V = \frac{7\pi\sqrt{3}}{12}$ см³.

Нахождение площади поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из площадей поверхностей, образованных вращением каждой из шести сторон шестиугольника.

1. Вращение сторон $AB$ и $DE$. Ось вращения проходит через середины этих сторон. При вращении каждая из этих сторон образует плоский круг. Радиус этих кругов равен половине длины стороны: $r_{осн} = \frac{a}{2} = \frac{1}{2}$ см. Площадь одного такого круга (основания): $S_{осн} = \pi r_{осн}^2 = \pi \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\pi}{4}$ см². Поскольку таких сторон две, их общая площадь: $S_1 = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ см².

2. Вращение сторон $BC$, $CD$, $EF$ и $FA$. Каждая из этих четырех сторон при вращении образует боковую поверхность усеченного конуса. По симметрии все эти поверхности имеют одинаковую площадь.

Рассмотрим поверхность, образованную вращением стороны $BC$. Это боковая поверхность усеченного конуса с радиусами оснований $R=1$ см (расстояние от $C$ до оси) и $r=\frac{1}{2}$ см (расстояние от $B$ до оси). Образующая $L$ этого усеченного конуса равна длине стороны шестиугольника: $L=a=1$ см.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $S_{бок.фр.} = \pi L (R + r)$

$S_{бок.фр.} = \pi \cdot 1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3\pi}{2}$ см².

Так как таких сторон четыре ($BC$, $CD$, $EF$, $FA$), общая площадь боковой поверхности: $S_2 = 4 \cdot S_{бок.фр.} = 4 \cdot \frac{3\pi}{2} = 6\pi$ см².

3. Общая площадь поверхности. Полная площадь поверхности тела вращения $S$ равна сумме площадей оснований и боковой поверхности: $S = S_1 + S_2 = \frac{\pi}{2} + 6\pi = \frac{\pi + 12\pi}{2} = \frac{13\pi}{2}$ см².

Ответ: $S = \frac{13\pi}{2}$ см².