Номер 17, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

17. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения ромба ABCD со сторонами, равными 1 см, и острым углом $60^{\circ}$, вокруг прямой AB.

Для решения задачи рассмотрим ромб ABCD со стороной $a = 1$ см и острым углом $\angle A = 60°$. Ромб вращается вокруг прямой, содержащей сторону AB.

Поскольку острый угол ромба равен $60°$, ромб состоит из двух равносторонних треугольников ABD и BCD со стороной 1 см.

Опустим перпендикуляры из вершин D и C на прямую AB. Пусть их основаниями будут точки H₁ и H₂ соответственно.

Высота ромба, которая будет радиусом вращения для некоторых частей тела, равна: $h = AD \cdot \sin(60°) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см. Таким образом, $DH₁ = CH₂ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Тело вращения можно представить как комбинацию нескольких более простых тел:

• Вращение стороны AD вокруг прямой AB образует конус с вершиной в точке A.
• Вращение стороны DC образует боковую поверхность цилиндра.
• Вращение стороны BC образует конус с вершиной в точке B.

Проанализируем геометрию тела. Оно состоит из цилиндра, образованного вращением прямоугольника DСH₂H₁, к одному основанию которого присоединен конус (от вращения $\triangle ADH₁$), а из другого основания вырезан конус (соответствующий вращению $\triangle BCH₂$).

Найдем параметры этих тел:

• Радиус основания цилиндра и конусов равен высоте ромба: $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.
• Высота цилиндра равна длине стороны ромба, так как сторона DC параллельна стороне AB: $h_{цил} = DC = 1$ см.
• Высота первого конуса (с вершиной A): $h_{кон1} = AH₁ = AD \cdot \cos(60°) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см. Образующая этого конуса $l_1 = AD = 1$ см.
• Высота второго конуса (с вершиной B): $\angle ABC = 180° - 60° = 120°$. Тогда $h_{кон2} = BH₂ = BC \cdot \cos(180°-120°) = 1 \cdot \cos(60°) = \frac{1}{2}$ см. Образующая этого конуса $l_2 = BC = 1$ см.

Объем

Объем тела вращения равен объему цилиндра плюс объем присоединенного конуса минус объем вырезанного конуса.

Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi r^2 h_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем первого (присоединенного) конуса: $V_{кон1} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон1} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Объем второго (вырезанного) конуса: $V_{кон2} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{кон2} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем тела: $V = V_{цил} + V_{кон1} - V_{кон2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Ответ: $V = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения состоит из суммы площадей боковых поверхностей цилиндра и двух конусов (внешнего и внутреннего). Сторона AB лежит на оси вращения и вклада в площадь поверхности не дает.

Площадь боковой поверхности цилиндра (от вращения стороны DC): $S_{цил} = 2\pi r h_{цил} = 2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности первого конуса (от вращения стороны AD): $S_{кон1} = \pi r l_1 = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Площадь боковой поверхности второго конуса (от вращения стороны BC): $S_{кон2} = \pi r l_2 = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности тела: $S = S_{цил} + S_{кон1} + S_{кон2} = \pi\sqrt{3} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = 2\pi\sqrt{3}$ см².