Номер 13, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения равнобедренной трапеции $ABCD$ с боковыми сторонами $AD$ и $BC$, равными 1 см, и основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, вокруг прямой $AB$.

По условию дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AB = 2$ см и $CD = 1$ см и боковыми сторонами $AD = BC = 1$ см. Трапеция вращается вокруг прямой, содержащей большее основание $AB$.

Тело, полученное в результате вращения, представляет собой комбинацию трех тел: одного цилиндра и двух одинаковых конусов, приставленных к основаниям цилиндра. Чтобы найти объем и площадь поверхности этого тела, сперва определим его основные параметры.

Проведем из вершин $C$ и $D$ высоты $CK$ и $DM$ на основание $AB$. Так как трапеция равнобедренная, а $CD$ параллельно $AB$, то фигура $CDMK$ является прямоугольником. Следовательно, $MK = CD = 1$ см.

Прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle BCK$ равны по гипотенузе и катету ($AD=BC$ и $DM=CK$). Значит, $AM = BK$.

Длина основания $AB$ равна сумме длин отрезков: $AB = AM + MK + KB$.

Подставим известные значения: $2 = AM + 1 + AM$, откуда $2 \cdot AM = 1$, и $AM = 0.5$ см.

Теперь найдем высоту трапеции $h = DM$ из прямоугольного треугольника $\triangle ADM$ по теореме Пифагора:

$DM^2 = AD^2 - AM^2$

$h^2 = 1^2 - (0.5)^2 = 1 - 0.25 = 0.75$

$h = \sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Эта высота является радиусом оснований как для цилиндра, так и для конусов: $r = h = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Высота цилиндра, образованного вращением прямоугольника $CDMK$, равна $H_{цил} = MK = 1$ см.

Высота каждого из конусов, образованных вращением треугольников $\triangle ADM$ и $\triangle BCK$, равна $H_{кон} = AM = 0.5$ см.

Образующая каждого конуса равна боковой стороне трапеции: $l = AD = 1$ см.

Объем

Общий объем тела вращения $V$ равен сумме объема цилиндра $V_{цил}$ и объемов двух конусов $2 \cdot V_{кон}$.

$V = V_{цил} + 2 \cdot V_{кон}$

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 H_{цил}$:

$V_{цил} = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{3}{4} = \frac{3\pi}{4}$ см³.

Объем одного конуса вычисляется по формуле $V_{кон} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{кон}$:

$V_{кон} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \cdot 0.5 = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{24} = \frac{\pi}{8}$ см³.

Суммарный объем:

$V = \frac{3\pi}{4} + 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{2\pi}{8} = \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см³.

Ответ: объем тела вращения равен $\pi$ см³.

Площадь поверхности

Площадь поверхности тела вращения $S$ состоит из площади боковой поверхности цилиндра $S_{бок.цил}$ и площадей боковых поверхностей двух конусов $2 \cdot S_{бок.кон}$. Основания цилиндра и конусов находятся внутри тела и в общую площадь поверхности не входят.

$S = S_{бок.цил} + 2 \cdot S_{бок.кон}$

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок.цил} = 2 \pi r H_{цил}$:

$S_{бок.цил} = 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \pi\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности одного конуса вычисляется по формуле $S_{бок.кон} = \pi r l$:

$S_{бок.кон} = \pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}$ см².

Суммарная площадь поверхности:

$S = \pi\sqrt{3} + 2 \cdot \frac{\pi\sqrt{3}}{2} = \pi\sqrt{3} + \pi\sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см².

Ответ: площадь поверхности тела вращения равна $2\pi\sqrt{3}$ см².