Номер 6, страница 109 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

6. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AB$ и $CD$, равными соответственно 2 см и 1 см, меньшей боковой стороной, равной 1 см, вокруг прямой $AD$.

Тело, полученное в результате вращения прямоугольной трапеции ABCD вокруг ее меньшей боковой стороны AD (которая перпендикулярна основаниям), является усеченным конусом.

Параметры этого тела вращения определяются из условий задачи:

Радиус большего основания $R$ равен длине основания AB: $R = 2$ см.

Радиус меньшего основания $r$ равен длине основания CD: $r = 1$ см.

Высота усеченного конуса $h$ равна длине стороны вращения AD: $h = 1$ см.

Объем тела вращения

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$

Подставляем известные значения:

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 1 \cdot (2^2 + 2 \cdot 1 + 1^2) = \frac{1}{3} \pi (4 + 2 + 1) = \frac{7\pi}{3}$ см³.

Ответ: Объем тела вращения равен $\frac{7\pi}{3}$ см³.

Площадь поверхности тела вращения

Площадь полной поверхности усеченного конуса состоит из суммы площадей двух его оснований и площади боковой поверхности.

$S_{полная} = S_{нижн.основания} + S_{верхн.основания} + S_{боковая}$

1. Найдем площадь нижнего основания (круга с радиусом $R=2$ см):

$S_{нижн.основания} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$ см².

2. Найдем площадь верхнего основания (круга с радиусом $r=1$ см):

$S_{верхн.основания} = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$ см².

3. Для нахождения площади боковой поверхности нужна образующая $l$. Образующая равна длине большей боковой стороны трапеции BC. Чтобы найти ее, проведем высоту из вершины C на основание AB (обозначим точку пересечения H). Получим прямоугольный треугольник CHB, где катет CH равен высоте трапеции $h=1$ см, а катет HB равен разности оснований $R-r = 2 - 1 = 1$ см.

По теореме Пифагора находим образующую $l$:

$l = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

$S_{боковая} = \pi (R + r) l$

$S_{боковая} = \pi (2 + 1) \sqrt{2} = 3\pi\sqrt{2}$ см².

4. Складываем все площади для нахождения полной площади поверхности:

$S_{полная} = 4\pi + \pi + 3\pi\sqrt{2} = 5\pi + 3\pi\sqrt{2} = \pi(5 + 3\sqrt{2})$ см².

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $\pi(5 + 3\sqrt{2})$ см².