Номер 5, страница 110 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

5. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $c$, проходящей через центры ее оснований.

Объем тела вращения

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1 см. Это означает, что сторона основания $a = 1$ см, и высота призмы $h = 1$ см.

Вращение производится вокруг прямой $c$, проходящей через центры оснований призмы. Эта прямая является осью симметрии призмы.

Тело вращения, полученное при вращении призмы вокруг ее центральной оси, представляет собой прямой круговой цилиндр. Радиус этого цилиндра равен максимальному расстоянию от точек призмы до оси вращения, а его высота равна высоте призмы.

Максимальное расстояние от оси вращения до точек призмы — это расстояние от центра правильного шестиугольника (основания) до его вершин. Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ равен стороне шестиугольника.

Таким образом, радиус цилиндра $R$ равен стороне основания призмы: $R = a = 1$ см.

Высота цилиндра $H$ равна высоте призмы: $H = h = 1$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 H$

Подставляем наши значения: $V = \pi \cdot (1)^2 \cdot 1 = \pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Тело вращения, как мы установили, является цилиндром с радиусом основания $R = 1$ см и высотой $H = 1$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади двух круговых оснований ($S_{2осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).

Площадь двух оснований вычисляется по формуле $2 \pi R^2$: $S_{2осн} = 2 \cdot \pi \cdot (1)^2 = 2\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $2 \pi R H$: $S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$ см$^2$.

Площадь полной поверхности тела вращения равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности: $S = S_{2осн} + S_{бок} = 2\pi + 2\pi = 4\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $4\pi$ см$^2$.