Номер 10, страница 111 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

10. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1 см, вокруг прямой $AA_1$.

Задача состоит в нахождении объема и площади поверхности тела, полученного при вращении правильной шестиугольной призмы вокруг одного из ее боковых ребер. Пусть сторона основания призмы и ее высота равны $a = 1$ см.

Объем тела вращения

Тело вращения образуется вращением призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ вокруг прямой $AA_1$. Объем такого тела можно найти, рассмотрев его поперечное сечение. Сечение тела вращения плоскостью, перпендикулярной оси вращения $AA_1$, в любой точке на высоте от 0 до 1 будет одинаковым. Это сечение представляет собой фигуру, которую заметает основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ — при вращении вокруг вершины A.

Поскольку шестиугольник является выпуклой фигурой, при его вращении вокруг вершины A он полностью заметает круг. Радиус этого круга равен максимальному расстоянию от точки A до любой другой точки шестиугольника. В правильном шестиугольнике таким максимальным расстоянием является длина его большой диагонали, исходящей из вершины A, то есть диагонали AD.

Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$ см, поэтому радиус вращения $R = AD = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Площадь поперечного сечения тела вращения (площадь круга радиусом R) равна:

$S_{сеч} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Объем тела вращения равен произведению площади поперечного сечения на высоту призмы $h = AA_1 = 1$ см.

$V = S_{сеч} \cdot h = 4\pi \cdot 1 = 4\pi$ см$^3$.

Ответ: Объем тела вращения равен $4\pi$ см$^3$.

Площадь поверхности тела вращения

Чтобы определить форму и площадь поверхности тела вращения, рассмотрим, какие объемы создают отдельные грани призмы при вращении вокруг оси $AA_1$.

Найдем расстояния от вершин основания до оси вращения $A$ (вершина A находится на оси):

- Расстояние до B: $r_B = AB = a = 1$ см.

- Расстояние до F: $r_F = AF = a = 1$ см.

- Расстояние до C: $r_C = AC$ (короткая диагональ) $= a\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

- Расстояние до E: $r_E = AE = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

- Расстояние до D: $r_D = AD$ (длинная диагональ) $= 2a = 2$ см.

При вращении призмы каждая ее боковая грань (квадрат со стороной 1) создает определенный объем:

- Грани $ABB_1A_1$ и $AFF_1A_1$ вращаются вокруг своего ребра $AA_1$. Они обе создают один и тот же сплошной цилиндр радиусом $r_B = 1$ см и высотой $h=1$ см.

- Грани $BCB_1C_1$ и $EFE_1F_1$ создают тело вращения, заполняющее пространство между цилиндрами с радиусами $r_B=1$ см и $r_C=\sqrt{3}$ см.

- Грани $CDD_1C_1$ и $DED_1E_1$ создают тело вращения, заполняющее пространство между цилиндрами с радиусами $r_C=\sqrt{3}$ см и $r_D=2$ см.

Объединение всех этих тел вращения, созданных гранями, и есть искомое тело вращения. В результате объединения получается сплошной цилиндр с максимальным радиусом $R = r_D = 2$ см и высотой $h = 1$ см.

Следовательно, тело вращения представляет собой прямой круговой цилиндр. Площадь его поверхности складывается из площади двух оснований (верхнего и нижнего) и площади боковой поверхности.

Площадь одного основания (круга радиусом $R=2$ см):

$S_{осн} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Площадь боковой поверхности цилиндра:

$S_{бок} = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$ см$^2$.

Полная площадь поверхности тела вращения:

$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 4\pi + 4\pi = 8\pi + 4\pi = 12\pi$ см$^2$.

Ответ: Площадь поверхности тела вращения равна $12\pi$ см$^2$.