Страница 91 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.19. Найдите объем октаэдра с ребром, равным 1 см (рис. 15.9).

Рис. 15.9

Правильный октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, которые соединены своими квадратными основаниями. Ребро октаэдра $a$, по условию равное 1 см, является одновременно и стороной общего квадратного основания, и боковым ребром каждой из этих двух пирамид.

Объем всего октаэдра $V$ будет равен удвоенному объему одной пирамиды $V_{пир}$. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3}S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Сначала найдем площадь основания. Так как основание — это квадрат со стороной $a = 1$ см, его площадь равна: $S_{осн} = a^2 = 1^2 = 1$ см².

Теперь найдем высоту пирамиды $h$. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из ее вершины на центр квадрата в основании. Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют высота пирамиды $h$ (катет), половина диагонали квадрата в основании (второй катет) и боковое ребро $a$ (гипотенуза).

Длина диагонали квадрата $d$ со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$. Для $a = 1$ см, диагональ $d = \sqrt{2}$ см. Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Применим теорему Пифагора для нахождения высоты $h$: $h^2 + (\frac{d}{2})^2 = a^2$ $h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1^2$ $h^2 + \frac{2}{4} = 1$ $h^2 + \frac{1}{2} = 1$ $h^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $h = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можно вычислить объем одной пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ см³.

Объем октаэдра равен объему двух таких пирамид: $V = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ см³.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{3}$ см³.

15.20. Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см (рис. 15.10).

Рис. 15.10

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$, где $h$ – высота усеченной пирамиды, а $S_1$ и $S_2$ – площади ее оснований.

В основаниях данной пирамиды лежат правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ находится по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.

1. Найдем площадь большего основания ($S_1$), сторона которого по условию равна $a_1 = 2$ см.
$S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Найдем площадь меньшего основания ($S_2$), сторона которого по условию равна $a_2 = 1$ см.
$S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

3. Найдем объем усеченной пирамиды. Высота пирамиды по условию $h = 3$ см. Подставим все найденные значения в формулу для объема:
$V = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{6\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}\right)$
$V = 1 \cdot \left(6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{18 \cdot (\sqrt{3})^2}{2}}\right)$
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{\frac{18 \cdot 3}{2}}$
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{27}$
Так как $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$, то:
$V = 6\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}$
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
$V = \frac{18\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{21\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.
Ответ: $\frac{21\sqrt{3}}{2}$ см$^3$.

15.21. Дворец мира и согласия в Нур-Султане (рис. 15.11) имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 62 м. Найдите его объем.

Рис. 15.11

15.21. Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

В условии сказано, что Дворец мира и согласия имеет форму правильной четырехугольной пирамиды. Это означает, что в ее основании лежит квадрат.

По данным задачи, стороны основания и высота равны 62 м. Пусть сторона основания $a = 62$ м, и высота $h = 62$ м.

15.22. Сформулируйте условия на стороны оснований и боковые ребра двух правильных $n$-угольных пирамид, при которых эти пирамиды подобны. Как относятся объемы этих пирамид?

Условие подобия правильных n-угольных пирамид

Рассмотрим две правильные n-угольные пирамиды. Пусть сторона основания и боковое ребро первой пирамиды равны $a_1$ и $b_1$ соответственно, а второй — $a_2$ и $b_2$.

Два многогранника называются подобными, если один может быть получен из другого преобразованием подобия. Это означает, что все их соответствующие линейные размеры (стороны, ребра, высоты, апофемы и т.д.) пропорциональны, а соответствующие углы (двугранные, плоские) равны. Коэффициент пропорциональности линейных размеров называется коэффициентом подобия.

Основаниями данных пирамид являются правильные n-угольники. Любые два правильных n-угольника подобны. Коэффициент подобия их оснований равен отношению длин их сторон, то есть $a_1 / a_2$.

Боковые грани правильной пирамиды — это конгруэнтные (равные) равнобедренные треугольники. Для того чтобы две пирамиды были подобны, необходимо, чтобы их соответствующие боковые грани были подобными треугольниками. Боковая грань первой пирамиды имеет стороны $b_1, b_1, a_1$. Боковая грань второй пирамиды имеет стороны $b_2, b_2, a_2$. Условие подобия этих треугольников заключается в пропорциональности их соответствующих сторон:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$

Это условие является не только необходимым, но и достаточным. Если отношение стороны основания к боковому ребру одинаково для обеих пирамид (т.е. $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$), то все соответствующие плоские и двугранные углы у этих пирамид будут равны, а все соответствующие линейные элементы будут пропорциональны с коэффициентом $k = a_1/a_2 = b_1/b_2$. Следовательно, пирамиды будут подобны.

Ответ: Две правильные n-угольные пирамиды подобны тогда и только тогда, когда отношение их сторон основания равно отношению их боковых ребер. Если $a_1, b_1$ — сторона основания и боковое ребро первой пирамиды, а $a_2, b_2$ — соответствующие элементы второй пирамиды, то условие подобия имеет вид $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, что эквивалентно условию $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2}$.

Отношение объемов подобных правильных n-угольных пирамид

Согласно общей теореме о подобии тел, отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия.

Пусть коэффициент подобия двух правильных n-угольных пирамид равен $k$. Как мы установили выше, $k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$.

Объем пирамиды вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3}S_{осн}h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Найдем отношение объемов $V_1$ и $V_2$ двух подобных пирамид:

$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{1}{3}S_1 h_1}{\frac{1}{3}S_2 h_2} = \frac{S_1}{S_2} \cdot \frac{h_1}{h_2}$

Поскольку основания являются подобными фигурами с коэффициентом подобия $k$, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.

Высоты пирамид, как соответствующие линейные элементы, также относятся как коэффициент подобия: $\frac{h_1}{h_2} = k$.

Подставляя эти отношения в формулу для отношения объемов, получаем:

$\frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3$

Таким образом, отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу отношения их соответствующих сторон оснований или кубу отношения их боковых ребер.

Ответ: Отношение объемов двух подобных правильных n-угольных пирамид равно кубу коэффициента подобия. Если $a_1$ и $a_2$ — стороны оснований, а $b_1$ и $b_2$ — боковые ребра пирамид, то отношение их объемов $V_1$ и $V_2$ равно $\frac{V_1}{V_2} = (\frac{a_1}{a_2})^3 = (\frac{b_1}{b_2})^3$.

15.23. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 1, а угол между боковой гранью и основанием равен $45^\circ$. Найдите объем пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота пирамиды.

1. Найдем площадь основания.

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник. Его можно разбить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$, равной стороне шестиугольника. По условию, $a = 1$.

Площадь одного такого равностороннего треугольника равна $S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим значение $a=1$:

$S_{\triangle} = \frac{1^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь всего шестиугольника (основания пирамиды) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем высоту пирамиды.

Угол между боковой гранью и основанием — это двугранный угол. В правильной пирамиде он измеряется как угол между апофемой боковой грани и апофемой основания, проведенными к одной и той же стороне основания.

Пусть $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр основания, $M$ — середина одной из сторон основания. Тогда $SO$ — это высота пирамиды $H$, $SM$ — апофема боковой грани, а $OM$ — апофема основания. Треугольник $SOM$ — прямоугольный ($\angle SO M = 90^\circ$), а угол $\angle SMO$ — это и есть угол между боковой гранью и основанием, который по условию равен $45^\circ$.

Апофема правильного шестиугольника $OM$ равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$:

$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. Мы знаем катет $OM$ и угол $\angle SMO = 45^\circ$. Найдем второй катет $SO = H$:

$\text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} \implies \text{tg}(45^\circ) = \frac{H}{OM}$.

Поскольку $\text{tg}(45^\circ) = 1$, получаем:

$1 = \frac{H}{OM} \implies H = OM = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Вычислим объем пирамиды.

Теперь, зная площадь основания $S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ и высоту $H = \frac{\sqrt{3}}{2}$, мы можем найти объем:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $V = \frac{3}{4}$.

15.24. Объем четырехугольной пирамиды SABCD равен $1 \text{ см}^3$. Найдите объем пирамиды, вершинами основания которой являются середины сторон основания ABCD, а вершина совпадает с вершиной S данной пирамиды (рис. 15.12).

Рис. 15.12

Пусть $V_{SABCD}$ — объем исходной четырехугольной пирамиды $SABCD$, а $S_{ABCD}$ — площадь ее основания. По условию задачи, $V_{SABCD} = 1$ см³.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Таким образом, для данной пирамиды имеем:$V_{SABCD} = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = 1 \text{ см}^3$.

Рассмотрим новую пирамиду. Ее вершина совпадает с вершиной $S$ исходной пирамиды. Основанием новой пирамиды является четырехугольник, вершины которого — середины сторон основания $ABCD$. Обозначим эти середины как $K, L, M, N$ (середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно). Новое основание — это четырехугольник $KLMN$.

Так как вершина $S$ у новой пирамиды та же, а ее основание $KLMN$ лежит в той же плоскости, что и основание $ABCD$, то высота новой пирамиды $h$ совпадает с высотой исходной.

Объем новой пирамиды $V_{SKLMN}$ будет равен:$V_{SKLMN} = \frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h$.

Для нахождения объема $V_{SKLMN}$ необходимо установить связь между площадью нового основания $S_{KLMN}$ и площадью исходного основания $S_{ABCD}$.

Четырехугольник $KLMN$, соединяющий середины сторон произвольного четырехугольника $ABCD$, является параллелограммом (теорема Вариньона). Его площадь можно найти, вычтя из площади $S_{ABCD}$ площади четырех угловых треугольников: $\triangle AKN$, $\triangle BKL$, $\triangle CML$ и $\triangle DMN$.

Рассмотрим диагональ $BD$ в четырехугольнике $ABCD$. Она делит его на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.

В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $KN$ является средней линией, так как $K$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AD$. Треугольник $\triangle AKN$ подобен треугольнику $\triangle ABD$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $S_{\triangle AKN} = (\frac{1}{2})^2 S_{\triangle ABD} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD}$.

Аналогично, в треугольнике $\triangle BCD$ отрезок $LM$ — средняя линия. Площадь $\triangle CML$ равна $S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle BCD}$.

Сумма площадей этих двух угловых треугольников:$S_{\triangle AKN} + S_{\triangle CML} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABD} + \frac{1}{4} S_{\triangle BCD} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Теперь рассмотрим диагональ $AC$. Она делит $ABCD$ на $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

В $\triangle ABC$ отрезок $KL$ — средняя линия. Площадь $\triangle BKL$ равна $S_{\triangle BKL} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$.

В $\triangle ADC$ отрезок $MN$ — средняя линия. Площадь $\triangle DMN$ равна $S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ADC}$.

Сумма площадей двух других угловых треугольников:$S_{\triangle BKL} + S_{\triangle DMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$.

Общая площадь всех четырех угловых треугольников составляет:$S_{углов} = (\frac{1}{4} S_{ABCD}) + (\frac{1}{4} S_{ABCD}) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Следовательно, площадь основания новой пирамиды $S_{KLMN}$ равна:$S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Теперь мы можем найти объем новой пирамиды $V_{SKLMN}$:$V_{SKLMN} = \frac{1}{3} S_{KLMN} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S_{ABCD}) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)$.

Так как $\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h = V_{SABCD} = 1 \text{ см}^3$, то:$V_{SKLMN} = \frac{1}{2} \cdot V_{SABCD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \text{ см}^3 = 0,5 \text{ см}^3$.

Ответ: 0,5 см³.