Страница 84 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

Как вычисляется объем цилиндра?

Объем цилиндра вычисляется как произведение площади его основания на высоту. Этот принцип является общим для всех прямых призм и цилиндров.

Так как основанием цилиндра является круг, первым шагом является нахождение площади этого круга ($S_{осн}$). Она вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Здесь $R$ — это радиус основания цилиндра, а $\pi$ (пи) — математическая константа, которая приблизительно равна $3.14159$.

Высота цилиндра ($h$) — это перпендикулярное расстояние между его двумя круговыми основаниями.

Объем цилиндра ($V$) получается путем умножения найденной площади основания на высоту цилиндра:

$V = S_{осн} \cdot h$

Если объединить эти два шага и подставить формулу площади круга в формулу объема, мы получим единую и наиболее известную формулу для вычисления объема цилиндра:

$V = \pi R^2 h$

Таким образом, для расчета объема необходимо знать два параметра: радиус основания ($R$) и высоту ($h$). Если в условии задачи дан диаметр ($D$), то радиус можно найти, разделив диаметр пополам: $R = D/2$.

Пример расчета:

Найдем объем цилиндра с радиусом основания $R = 5$ см и высотой $h = 10$ см.

1. Подставляем известные значения в формулу: $V = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 \cdot 10 \text{ см}$.

2. Возводим радиус в квадрат: $5^2 = 25$ см$^2$.

3. Умножаем полученные значения: $V = \pi \cdot 25 \text{ см}^2 \cdot 10 \text{ см} = 250\pi$ см$^3$.

Это точный ответ. Для получения численного значения можно использовать приближение $\pi \approx 3.14$:

$V \approx 250 \cdot 3.14 = 785$ см$^3$.

Ответ: Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

14.1. Радиус основания цилиндра равен 2 см, образующая равна 3 см.
Найдите объем этого цилиндра.

14.1. Для нахождения объема цилиндра используется формула, связывающая объем ($V$) с площадью основания ($S_{осн}$) и высотой ($h$):
$V = S_{осн} \cdot h$

Основанием цилиндра является круг. Площадь круга вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
где $r$ — радиус основания.

По условию задачи, радиус основания цилиндра $r = 2$ см. Подставим это значение в формулу площади основания:
$S_{осн} = \pi \cdot (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Образующая прямого цилиндра равна его высоте. По условию, образующая равна 3 см, следовательно, высота цилиндра $h = 3$ см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем вычислить объем цилиндра:
$V = S_{осн} \cdot h = 4\pi \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 12\pi$ см$^3$.

Ответ: $12\pi \text{ см}^3$.

14.2. Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной $a$ см. Найдите объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ – радиус основания, а $h$ – высота цилиндра.

Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Стороны этого прямоугольника равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $d$.

По условию, осевое сечение является квадратом со стороной $a$ см. Это означает, что высота цилиндра равна диаметру его основания, и обе эти величины равны стороне квадрата $a$.

Итак, имеем:

Высота цилиндра: $h = a$ см.

Диаметр основания: $d = a$ см.

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$ см.

Теперь подставим значения $h$ и $R$ в формулу для вычисления объема цилиндра:

$V = \pi R^2 h = \pi \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 \cdot a = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot a = \frac{\pi a^3}{4}$

Ответ: $\frac{\pi a^3}{4}$ см³.

объем цилиндра.

14.3. Одна кружка вдвое выше другой, зато вторая в полтора раза шире. Какая кружка вместительнее?

Для того чтобы определить, какая из кружек вместительнее, необходимо сравнить их объёмы. Будем считать, что кружки имеют форму цилиндра.

Объём цилиндра ($V$) вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$, где $r$ — это радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Пусть у первой кружки высота равна $h_1$, а радиус основания — $r_1$. Тогда её объём будет:

$V_1 = \pi r_1^2 h_1$

Теперь определим параметры второй кружки, исходя из условий задачи:

1. Первая кружка вдвое выше второй. Это значит, что высота второй кружки ($h_2$) в два раза меньше высоты первой: $h_2 = \frac{h_1}{2}$.

2. Вторая кружка в полтора раза шире первой. "Ширина" относится к диаметру, а значит, и радиус второй кружки ($r_2$) в полтора (1,5) раза больше радиуса первой: $r_2 = 1.5 \cdot r_1$.

Теперь вычислим объём второй кружки ($V_2$), используя её параметры:

$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (1.5 \cdot r_1)^2 \left(\frac{h_1}{2}\right)$

Выполним вычисления:

$V_2 = \pi \cdot (1.5^2 \cdot r_1^2) \cdot \frac{h_1}{2} = \pi \cdot (2.25 \cdot r_1^2) \cdot \frac{h_1}{2}$

Перегруппируем множители, чтобы сравнить с объёмом первой кружки:

$V_2 = \frac{2.25}{2} \cdot (\pi r_1^2 h_1)$

Так как $\pi r_1^2 h_1 = V_1$, то получаем:

$V_2 = 1.125 \cdot V_1$

Таким образом, объём второй кружки в 1,125 раза больше объёма первой. Следовательно, вторая кружка является более вместительной.

Ответ: вторая кружка вместительнее.

14.4. Найдите объем фигуры, которая получается при вращении квадрата вокруг его стороны, равной $a$.

14.5. П

14.4. При вращении квадрата вокруг одной из его сторон образуется тело вращения, которое представляет собой прямой круговой цилиндр.

Высота этого цилиндра $h$ равна стороне квадрата, которая является осью вращения, следовательно, $h = a$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен стороне квадрата, перпендикулярной оси вращения, то есть $r = a$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: $V = \pi r^2 h$

Подставляем значения $r=a$ и $h=a$ в формулу для нахождения объема: $V = \pi \cdot a^2 \cdot a = \pi a^3$

Ответ: $\pi a^3$

14.5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 1 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^\circ$. Найдите объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D = 2r$. Диагональ этого сечения $d$, высота $h$ и диаметр $D$ образуют прямоугольный треугольник.

Согласно условию, гипотенуза этого треугольника (диагональ $d$) равна $1$ см. Угол наклона диагонали к плоскости основания — это угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$ (диаметром основания), и он равен $30^\circ$.

Найдем катеты этого прямоугольного треугольника. Высота цилиндра $h$ является катетом, противолежащим углу в $30^\circ$:

$h = d \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Диаметр основания $D$ является катетом, прилежащим к углу в $30^\circ$:

$D = d \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Радиус основания $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ см.

Теперь подставим найденные значения $r$ и $h$ в формулу для объема цилиндра:

$V = \pi r^2 h = \pi \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4})^2 \cdot \frac{1}{2} = \pi \cdot \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{32}$ см³.

Ответ: $\frac{3\pi}{32}$ см³.

14.6. Найдите объем цилиндра, вписанного в единичный куб.

14.6. Единичный куб — это куб, длина ребра которого равна 1. Обозначим длину ребра куба как $a$, следовательно, $a=1$.

Цилиндр, вписанный в куб, означает, что его основания вписаны в две противоположные грани куба. Из этого следует, что высота цилиндра $h$ равна ребру куба, а диаметр основания цилиндра $d$ также равен ребру куба.

Таким образом, мы имеем следующие параметры для цилиндра:

Высота цилиндра: $h = a = 1$.

Диаметр основания цилиндра: $d = a = 1$.

Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра: $r = d/2 = 1/2$.

Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — это площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь основания, которое является кругом, находится по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

Подставим значение радиуса в формулу площади основания:

$S_{осн} = \pi \cdot (1/2)^2 = \pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь вычислим объем цилиндра, подставив значения площади основания и высоты:

$V = S_{осн} \cdot h = \frac{\pi}{4} \cdot 1 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

14.7. В основании прямой призмы квадрат со стороной 1 см. Боковые ребра равны 2 см. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Для нахождения объема цилиндра, описанного около прямой призмы, необходимо определить высоту и радиус основания этого цилиндра.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Цилиндр, описанный около такой призмы, будет иметь высоту, равную длине бокового ребра призмы. По условию, боковые ребра равны 2 см, следовательно, высота цилиндра $h = 2$ см.

Основанием цилиндра является круг, который описан около основания призмы. В основании призмы лежит квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус $R$ круга, описанного около квадрата, равен половине диагонали этого квадрата.

Найдем диагональ квадрата $d$ по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

Радиус основания цилиндра $R$ равен:

$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь вычислим объем цилиндра по формуле $V = \pi R^2 h$:

$V = \pi \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{2}{4} \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \pi$ см$^3$.

Ответ: $\pi$ см$^3$.

14.8. Два цилиндра образованы вращением одного и того же прямоугольника около каждой из неравных его сторон $a$ и $b$. Как относятся объемы цилиндров?

Пусть дан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$. Рассмотрим два цилиндра, образованных вращением этого прямоугольника вокруг каждой из его сторон.

Сначала найдем объем первого цилиндра, который образуется при вращении прямоугольника вокруг стороны $a$. В этом случае высота цилиндра $h_1$ будет равна стороне $a$, а радиус его основания $r_1$ будет равен стороне $b$. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$.
Таким образом, объем первого цилиндра $V_1$ равен:
$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi b^2 a$

Теперь найдем объем второго цилиндра, который образуется при вращении прямоугольника вокруг стороны $b$. В этом случае высота цилиндра $h_2$ будет равна стороне $b$, а радиус его основания $r_2$ будет равен стороне $a$.
Объем второго цилиндра $V_2$ равен:
$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi a^2 b$

Чтобы найти, как относятся объемы этих двух цилиндров, найдем их отношение, разделив объем первого цилиндра на объем второго:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi b^2 a}{\pi a^2 b}$
Сократим общие множители $\pi$, $a$ и $b$ в числителе и знаменателе:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{b \cdot b \cdot a}{a \cdot a \cdot b} = \frac{b}{a}$
Это означает, что отношение объема цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $a$, к объему цилиндра, полученного вращением вокруг стороны $b$, равно $b : a$.

Ответ: Объемы цилиндров относятся как $b : a$.

14.9. Во сколько раз объем цилиндра, описанного около правильной четырехугольной призмы, больше объема цилиндра, вписанного в эту же призму?

Для решения задачи рассмотрим правильную четырехугольную призму. В основании такой призмы лежит квадрат. Пусть сторона этого квадрата равна a, а высота призмы равна h. Оба цилиндра, вписанный и описанный, будут иметь ту же высоту h.

1. Объем цилиндра, описанного около призмы ($V_{опис}$).
Основание описанного цилиндра – это круг, описанный около квадрата в основании призмы. Радиус такого круга (R) равен половине диагонали квадрата.
Диагональ квадрата со стороной a равна $d = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус описанного круга: $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Объем описанного цилиндра находим по формуле $V = \pi R^2 h$:
$V_{опис} = \pi \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{2}$.

2. Объем цилиндра, вписанного в призму ($V_{впис}$).
Основание вписанного цилиндра – это круг, вписанный в квадрат в основании призмы. Радиус такого круга (r) равен половине стороны квадрата.
Следовательно, радиус вписанного круга: $r = \frac{a}{2}$.
Объем вписанного цилиндра находим по формуле $V = \pi r^2 h$:
$V_{впис} = \pi \cdot (\frac{a}{2})^2 \cdot h = \pi \cdot \frac{a^2}{4} \cdot h = \frac{\pi a^2 h}{4}$.

3. Нахождение отношения объемов.
Чтобы определить, во сколько раз объем описанного цилиндра больше объема вписанного, найдем их отношение:
$\frac{V_{опис}}{V_{впис}} = \frac{\frac{\pi a^2 h}{2}}{\frac{\pi a^2 h}{4}} = \frac{\pi a^2 h}{2} \cdot \frac{4}{\pi a^2 h} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: в 2 раза.

14.10. Найдите объем $V$ части цилиндра, изображенной на рисунке, высекаемой из цилиндра прямым двугранным углом (рис. 14.2). Радиус основания цилиндра равен 2 см, а образующая равна 3 см.

Рис. 14.2

Искомая фигура представляет собой цилиндрический сектор. Объем такого тела ($V$) вычисляется как произведение площади его основания ($S_{осн}$) на высоту ($H$).

Основанием данной фигуры является сектор круга. Из условия задачи и рисунка следует, что радиус основания цилиндра $R = 2$ см. Часть цилиндра высекается прямым двугранным углом, что означает, что центральный угол сектора в основании равен $\alpha = 90^\circ$.

Площадь сектора круга вычисляется по формуле:$S_{осн} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2$

Подставим известные значения, чтобы найти площадь основания:$S_{осн} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot (2)^2 = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot 4 = \pi \text{ см}^2$.

Высота цилиндра $H$ равна его образующей, то есть $H = 3$ см.

Теперь найдем объем $V$ части цилиндра:$V = S_{осн} \cdot H$

Подставим вычисленные значения площади основания и высоты:$V = \pi \text{ см}^2 \cdot 3 \text{ см} = 3\pi \text{ см}^3$.

Ответ: $3\pi \text{ см}^3$.