Страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.11. В цилиндрический сосуд, диаметр которого равен 9 см, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали?

14.11. Объем детали, опущенной в сосуд, равен объему вытесненной ею жидкости. Поскольку сосуд имеет цилиндрическую форму, вытесненная жидкость также занимает объем в форме цилиндра. Основание этого воображаемого цилиндра совпадает с основанием сосуда, а его высота равна высоте, на которую поднялся уровень жидкости.

Для нахождения объема цилиндра используется формула:

$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$

где $V$ – объем, $S_{осн}$ – площадь основания, $r$ – радиус основания, $h$ – высота.

По условию задачи даны:

Диаметр сосуда $d = 9$ см.

Высота подъема уровня жидкости $h = 12$ см.

1. Найдем радиус основания сосуда. Радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$ см.

2. Теперь подставим значения радиуса и высоты в формулу для объема цилиндра, чтобы найти объем детали:

$V_{детали} = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (4.5)^2 \cdot 12$

Вычислим значение:

$(4.5)^2 = 20.25$

$V_{детали} = \pi \cdot 20.25 \cdot 12 = 243\pi$ см$^3$.

Ответ: $243\pi$ см$^3$.

14.12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в два раза больше первого?

Пусть $V_1$ и $h_1$ — объем жидкости и ее уровень в первом цилиндрическом сосуде, а $V_2$ и $h_2$ — объем и уровень жидкости во втором сосуде. Так как жидкость переливают из первого сосуда во второй, ее объем остается неизменным, то есть $V_1 = V_2$.

Объем жидкости в цилиндре равен произведению площади его основания на высоту уровня жидкости: $V = S \cdot h$.

Для наших сосудов это можно записать как:$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$,где $S_1$ и $S_2$ — площади оснований первого и второго сосудов соответственно.

Основание цилиндра — это круг, площадь которого вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус. Радиус связан с диаметром $d$ соотношением $r = d/2$. Тогда площадь основания можно выразить через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

По условию задачи, диаметр второго сосуда в два раза больше диаметра первого: $d_2 = 2d_1$.

Найдем, как соотносятся площади оснований.$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{d_2^2}{d_1^2}$.

Подставим соотношение диаметров $d_2 = 2d_1$:$\frac{S_2}{S_1} = \frac{(2d_1)^2}{d_1^2} = \frac{4d_1^2}{d_1^2} = 4$.

Таким образом, площадь основания второго сосуда в 4 раза больше площади основания первого: $S_2 = 4S_1$.

Теперь найдем высоту уровня жидкости во втором сосуде $h_2$ из равенства объемов:$h_2 = \frac{S_1 \cdot h_1}{S_2}$.

Подставим в эту формулу $S_2 = 4S_1$ и известное значение $h_1 = 16$ см:$h_2 = \frac{S_1 \cdot h_1}{4S_1} = \frac{h_1}{4} = \frac{16}{4} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

14.13. Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см. Найдите объем цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник. Одна из сторон этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — длине окружности основания ($C$). Длина окружности связана с радиусом формулой $C = 2\pi r$.

По условию задачи, стороны прямоугольника равны 1 см и 2 см. Это означает, что возможны два случая.

Случай 1: высота цилиндра равна 1 см, а длина окружности основания — 2 см.

В этом случае имеем $h_1 = 1$ см и $C_1 = 2$ см. Сначала найдем радиус основания $r_1$ из формулы длины окружности:$C_1 = 2\pi r_1 \implies 2 = 2\pi r_1 \implies r_1 = \frac{2}{2\pi} = \frac{1}{\pi}$ см.Теперь можем вычислить объем цилиндра:$V_1 = \pi r_1^2 h_1 = \pi \cdot \left(\frac{1}{\pi}\right)^2 \cdot 1 = \pi \cdot \frac{1}{\pi^2} = \frac{1}{\pi}$ см³.

Случай 2: высота цилиндра равна 2 см, а длина окружности основания — 1 см.

В этом случае имеем $h_2 = 2$ см и $C_2 = 1$ см. Найдем радиус основания $r_2$:$C_2 = 2\pi r_2 \implies 1 = 2\pi r_2 \implies r_2 = \frac{1}{2\pi}$ см.Вычислим объем этого цилиндра:$V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi \cdot \left(\frac{1}{2\pi}\right)^2 \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{4\pi^2} \cdot 2 = \frac{2\pi}{4\pi^2} = \frac{1}{2\pi}$ см³.

Таким образом, задача имеет два возможных решения.

Ответ: объем цилиндра равен $\frac{1}{\pi}$ см³ или $\frac{1}{2\pi}$ см³.

14.14. Найдите объем цилиндра, описанного около единичной сферы.

14.11. Условие, что цилиндр описан около единичной сферы, означает, что сфера вписана в цилиндр. Единичная сфера — это сфера, радиус которой равен 1. Обозначим радиус сферы как $r_{сферы}$. Итак, $r_{сферы} = 1$.

Поскольку сфера вписана в цилиндр, она касается обоих его оснований и боковой поверхности. Из этого следует:

1. Радиус основания цилиндра, $r_{цил}$, равен радиусу сферы.
$r_{цил} = r_{сферы} = 1$.

2. Высота цилиндра, $h_{цил}$, равна диаметру сферы, то есть удвоенному радиусу сферы.
$h_{цил} = 2 \cdot r_{сферы} = 2 \cdot 1 = 2$.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V_{цил} = S_{осн} \cdot h_{цил}$, где $S_{осн}$ — это площадь основания цилиндра.

Площадь основания (круга) находится по формуле:
$S_{осн} = \pi \cdot r_{цил}^2$.

Подставим значения радиуса и высоты в формулу для объема цилиндра:
$V_{цил} = \pi \cdot (r_{цил})^2 \cdot h_{цил} = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = \pi \cdot 1 \cdot 2 = 2\pi$.

Ответ: $2\pi$.

14.15. Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны. Как относятся объемы этих цилиндров?

Условия подобия цилиндров:

Цилиндры с радиусами оснований $R_1, R_2$ и образующими (высотами) $H_1, H_2$ подобны, если: $\$$\frac{R_1}{R_2} = \frac{H_1}{H_2}$$

Отношение объемов цилиндров:

Объемы $V_1, V_2$ подобных цилиндров относятся как куб отношения их соответствующих линейных размеров: $\$$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{H_1}{H_2}\right)^3$$

Сформулируйте условия на радиусы оснований и образующие двух цилиндров, при которых эти цилиндры подобны

Два тела в пространстве называются подобными, если одно можно получить из другого преобразованием подобия. Для цилиндров, как и для других геометрических тел, это означает, что все их соответствующие линейные размеры пропорциональны.

Прямой круговой цилиндр определяется двумя линейными размерами: радиусом основания $r$ и высотой $h$, которая равна длине образующей.

Рассмотрим два цилиндра:

• Первый цилиндр с радиусом основания $r_1$ и образующей $h_1$.
• Второй цилиндр с радиусом основания $r_2$ и образующей $h_2$.

Эти два цилиндра будут подобны, если отношение их радиусов равно отношению их образующих (высот). Это общее отношение является коэффициентом подобия $k$:
$ \frac{r_1}{r_2} = \frac{h_1}{h_2} = k $

Это условие можно переписать в эквивалентной форме, которая гласит, что для подобных цилиндров отношение радиуса основания к образующей является постоянной величиной:
$ \frac{r_1}{h_1} = \frac{r_2}{h_2} $

Ответ: Два цилиндра подобны, если отношение радиуса основания к образующей одного цилиндра равно отношению радиуса основания к образующей другого цилиндра.

Как относятся объемы этих цилиндров?

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2 h$, где $r$ – радиус основания, а $h$ – высота (образующая).

Найдем объемы для двух наших подобных цилиндров:
$ V_1 = \pi r_1^2 h_1 $
$ V_2 = \pi r_2^2 h_2 $

Найдем отношение их объемов:
$ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi r_1^2 h_1}{\pi r_2^2 h_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \cdot \frac{h_1}{h_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{h_1}{h_2}\right) $

Из условия подобия мы знаем, что $ \frac{r_1}{r_2} = \frac{h_1}{h_2} = k $, где $k$ – коэффициент подобия. Подставим это значение в формулу для отношения объемов:
$ \frac{V_1}{V_2} = k^2 \cdot k = k^3 $

Таким образом, отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу коэффициента подобия.

Ответ: Отношение объемов двух подобных цилиндров равно кубу отношения их соответствующих линейных размеров (например, кубу отношения радиусов их оснований или кубу отношения их образующих).

14.16 Многоугольник, изображенный на рисунке 14.3, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой $a$, содержащей сторону, равную $2$ см. Найдите объем тела вращения.

$a$ $A$ $1$ $B$ $1$ $C$ $1$ $D$ $1$ $2$ $F$ $E$ $2$

Рис. 14.3

Для нахождения объема тела вращения воспользуемся методом разложения. Мы можем разбить исходный многоугольник на более простые фигуры (в данном случае — на прямоугольники), найти объемы тел вращения для каждой из этих фигур и затем сложить их.

Проведем мысленно вертикальный отрезок, соединяющий точки B и C и продолженный вниз до пересечения с отрезком FE. Пусть точка пересечения с FE будет G. Так как все углы многоугольника прямые, то отрезок CG перпендикулярен FE.

Это разбиение делит исходный многоугольник ABCDEF на два прямоугольника:

1. Левый прямоугольник ABGF со сторонами $AF = 2$ см и $AB = 1$ см.
2. Правый прямоугольник CGED со сторонами $CG = BC + DE = 1+1 =...$ Нет, $CG = BC = 1$ см. А $DE=1$ см. Сторона $CG$ равна $BC=1$ см. Сторона $CD = 1$ см.

Давайте опишем разбиение точнее. Проведем вертикальную линию через точки B и C. Эта линия разделит многоугольник на две части:

1. Левый прямоугольник: Его вершины — это A, B, и точки на оси a и отрезке FE. Назовем его прямоугольник $P_1$. Он имеет высоту $AF=2$ см и ширину $AB=1$ см. Этот прямоугольник примыкает к оси вращения a.
2. Правый прямоугольник: Его вершины — C, D, E и точка на линии BC. Назовем его прямоугольник $P_2$. Он имеет высоту $DE=1$ см и ширину $CD=1$ см. Этот прямоугольник отстоит от оси вращения на расстояние, равное $AB=1$ см.

Теперь найдем объемы тел, образующихся при вращении этих двух прямоугольников вокруг прямой a.

1. Вращение левого прямоугольника ($P_1$)

При вращении прямоугольника $P_1$ с высотой $h_1 = AF = 2$ см и шириной $R_1 = AB = 1$ см вокруг прямой a образуется сплошной цилиндр.

Объем этого цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi R^2 h$:

$V_1 = \pi \cdot R_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 2 = 2\pi$ см$^3$.

2. Вращение правого прямоугольника ($P_2$)

При вращении прямоугольника $P_2$ с высотой $h_2 = DE = 1$ см и шириной $CD = 1$ см образуется тело, представляющее собой полый цилиндр (трубу или кольцо), так как этот прямоугольник не примыкает к оси вращения.

Объем этого тела можно найти как разность объемов двух цилиндров: внешнего и внутреннего.

• Внешний радиус $R_{внешн}$ равен расстоянию от оси a до дальней стороны прямоугольника (вершины D и E). $R_{внешн} = AB + CD = 1 + 1 = 2$ см.
• Внутренний радиус $R_{внутр}$ равен расстоянию от оси a до ближней стороны прямоугольника (вершины C). $R_{внутр} = AB = 1$ см.

Высота этого полого цилиндра $h_2 = DE = 1$ см.

Объем $V_2$ вычисляется по формуле $V = \pi (R_{внешн}^2 - R_{внутр}^2) h$:

$V_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) \cdot 1 = 3\pi$ см$^3$.

3. Общий объем тела вращения

Общий объем $V$ тела вращения равен сумме объемов, полученных от вращения двух прямоугольников:

$V = V_1 + V_2 = 2\pi + 3\pi = 5\pi$ см$^3$.

Ответ: $5\pi$ см$^3$.

14.17 Многоугольник, изображенный на рисунке 14.4, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB, содержащей сторону, равную 3 см. Найдите объем тела вращения.

F 1 E

1

H 1 G

1 D 1 C

1

1

A

3

B

Рис. 14.4

Для нахождения объема тела вращения, полученного вращением заданного многоугольника вокруг прямой AB, можно разбить этот многоугольник на более простые фигуры и сложить объемы тел вращения, образованных этими фигурами.

Шаг 1. Декомпозиция многоугольника

Представим исходный многоугольник как объединение двух прямоугольников:

1. Нижний прямоугольник, который обозначим как $P_1$. Он имеет вершины в точках A, B, C и H (если спроецировать H и C на одну вертикальную линию). Его основание AB лежит на оси вращения, длина основания $AB = 3$ см, а высота $AH = BC = 1$ см.

2. Верхний прямоугольник, который обозначим как $P_2$. Он имеет вершины в точках F, E, D, G. Из данных на рисунке следует, что это квадрат со стороной 1 см ($FE = 1$ см, $FG = 1$ см). Этот прямоугольник не прилегает к оси вращения.

Общий объем тела вращения $V$ будет равен сумме объемов тел вращения, полученных от каждого из этих прямоугольников ($V_1$ и $V_2$).

Шаг 2. Вычисление объема тела вращения от нижнего прямоугольника ($V_1$)

При вращении прямоугольника $P_1$ вокруг его стороны AB образуется сплошной цилиндр.

Радиус основания этого цилиндра $r_1$ равен высоте прямоугольника $P_1$, то есть $r_1 = AH = 1$ см.

Высота цилиндра $h_1$ равна длине его основания, то есть $h_1 = AB = 3$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$.

Таким образом, объем $V_1$ равен:

$V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi$ см³.

Шаг 3. Вычисление объема тела вращения от верхнего прямоугольника ($V_2$)

Прямоугольник $P_2$ не примыкает к оси вращения AB. При его вращении вокруг этой оси образуется полый цилиндр (тело, ограниченное двумя соосными цилиндрическими поверхностями и двумя параллельными плоскостями).

Объем такого тела находится как разность объемов внешнего и внутреннего цилиндров: $V_{\text{полый}} = \pi (R^2 - r^2) h$, где $R$ — внешний радиус, $r$ — внутренний радиус, $h$ — высота.

Внешний радиус $R_2$ равен расстоянию от оси вращения AB до дальней стороны прямоугольника $P_2$ (стороны FE). Это расстояние равно $AH + FG = 1 + 1 = 2$ см.

Внутренний радиус $r_2$ равен расстоянию от оси вращения AB до ближней стороны прямоугольника $P_2$ (стороны HG). Это расстояние равно $AH = 1$ см.

Высота полого цилиндра $h_2$ равна длине горизонтальной стороны прямоугольника $P_2$, то есть $h_2 = FE = 1$ см.

Таким образом, объем $V_2$ равен:

$V_2 = \pi \cdot (R_2^2 - r_2^2) \cdot h_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) = 3\pi$ см³.

Шаг 4. Нахождение общего объема тела вращения

Полный объем тела вращения $V$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:

$V = V_1 + V_2 = 3\pi + 3\pi = 6\pi$ см³.

Ответ: $6\pi$ см³.

14.18. Профиль русла реки имеет форму равнобедренной трапеции, основания которой равны $10 \text{ м}$ и $6 \text{ м}$, а высота — $2 \text{ м}$ (рис. $14.5$).

Скорость течения равна $1 \text{ м/сек}$. Какой объем воды проходит через этот профиль за $1 \text{ мин}$? Ответ дайте в кубических метрах.

$10 \text{ м}$

$2 \text{ м}$

$6 \text{ м}$

Рис. $14.5$

Чтобы найти объем воды, который проходит через профиль русла за определенное время, необходимо вычислить объем водяного потока. Этот объем можно представить как объем прямой призмы, основанием которой является поперечное сечение русла, а высотой — расстояние, которое вода проходит за это время.

1. Найдем площадь поперечного сечения русла.

Профиль русла имеет форму равнобедренной трапеции. Площадь трапеции вычисляется по формуле:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h$ — ее высота.

Из условия задачи нам известны следующие параметры:

• Верхнее основание $a = 10$ м.
• Нижнее основание $b = 6$ м.
• Высота $h = 2$ м.

Подставим эти значения в формулу для нахождения площади:

$S = \frac{10 + 6}{2} \cdot 2 = \frac{16}{2} \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$ м².

Итак, площадь поперечного сечения русла составляет 16 м².

2. Найдем расстояние, которое проходит вода за 1 минуту.

Скорость течения реки $v$ равна 1 м/сек. Время $t$ равно 1 минуте. Для согласования единиц измерения переведем время в секунды:

$t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ сек}$.

Расстояние $L$, которое проходит вода, можно найти, умножив скорость на время:

$L = v \cdot t = 1 \text{ м/сек} \cdot 60 \text{ сек} = 60$ м.

3. Найдем объем воды.

Объем воды $V$ равен произведению площади поперечного сечения $S$ на расстояние $L$, которое прошла вода:

$V = S \cdot L$

Подставим вычисленные значения:

$V = 16 \text{ м}^2 \cdot 60 \text{ м} = 960$ м³.

Таким образом, за 1 минуту через профиль русла проходит 960 кубических метров воды.

Ответ: 960 м³.