Номер 14.17, страница 85 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.17 Многоугольник, изображенный на рисунке 14.4, все углы которого прямые, вращается вокруг прямой AB, содержащей сторону, равную 3 см. Найдите объем тела вращения.

F 1 E

1

H 1 G

1 D 1 C

1

1

A

3

B

Рис. 14.4

Для нахождения объема тела вращения, полученного вращением заданного многоугольника вокруг прямой AB, можно разбить этот многоугольник на более простые фигуры и сложить объемы тел вращения, образованных этими фигурами.

Шаг 1. Декомпозиция многоугольника

Представим исходный многоугольник как объединение двух прямоугольников:

1. Нижний прямоугольник, который обозначим как $P_1$. Он имеет вершины в точках A, B, C и H (если спроецировать H и C на одну вертикальную линию). Его основание AB лежит на оси вращения, длина основания $AB = 3$ см, а высота $AH = BC = 1$ см.

2. Верхний прямоугольник, который обозначим как $P_2$. Он имеет вершины в точках F, E, D, G. Из данных на рисунке следует, что это квадрат со стороной 1 см ($FE = 1$ см, $FG = 1$ см). Этот прямоугольник не прилегает к оси вращения.

Общий объем тела вращения $V$ будет равен сумме объемов тел вращения, полученных от каждого из этих прямоугольников ($V_1$ и $V_2$).

Шаг 2. Вычисление объема тела вращения от нижнего прямоугольника ($V_1$)

При вращении прямоугольника $P_1$ вокруг его стороны AB образуется сплошной цилиндр.

Радиус основания этого цилиндра $r_1$ равен высоте прямоугольника $P_1$, то есть $r_1 = AH = 1$ см.

Высота цилиндра $h_1$ равна длине его основания, то есть $h_1 = AB = 3$ см.

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{\text{цил}} = \pi r^2 h$.

Таким образом, объем $V_1$ равен:

$V_1 = \pi \cdot r_1^2 \cdot h_1 = \pi \cdot 1^2 \cdot 3 = 3\pi$ см³.

Шаг 3. Вычисление объема тела вращения от верхнего прямоугольника ($V_2$)

Прямоугольник $P_2$ не примыкает к оси вращения AB. При его вращении вокруг этой оси образуется полый цилиндр (тело, ограниченное двумя соосными цилиндрическими поверхностями и двумя параллельными плоскостями).

Объем такого тела находится как разность объемов внешнего и внутреннего цилиндров: $V_{\text{полый}} = \pi (R^2 - r^2) h$, где $R$ — внешний радиус, $r$ — внутренний радиус, $h$ — высота.

Внешний радиус $R_2$ равен расстоянию от оси вращения AB до дальней стороны прямоугольника $P_2$ (стороны FE). Это расстояние равно $AH + FG = 1 + 1 = 2$ см.

Внутренний радиус $r_2$ равен расстоянию от оси вращения AB до ближней стороны прямоугольника $P_2$ (стороны HG). Это расстояние равно $AH = 1$ см.

Высота полого цилиндра $h_2$ равна длине горизонтальной стороны прямоугольника $P_2$, то есть $h_2 = FE = 1$ см.

Таким образом, объем $V_2$ равен:

$V_2 = \pi \cdot (R_2^2 - r_2^2) \cdot h_2 = \pi \cdot (2^2 - 1^2) \cdot 1 = \pi \cdot (4 - 1) = 3\pi$ см³.

Шаг 4. Нахождение общего объема тела вращения

Полный объем тела вращения $V$ равен сумме объемов $V_1$ и $V_2$:

$V = V_1 + V_2 = 3\pi + 3\pi = 6\pi$ см³.

Ответ: $6\pi$ см³.