Номер 14.20, страница 86 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.20. Найдите объем детали, изображенной на рисунке 14.7, составленной из двух равных частей цилиндров. (Примите $\pi \approx 3$).

Рис. 14.7

Для нахождения объема детали необходимо вычислить объем объединения двух одинаковых перпендикулярных цилиндров. Общий объем $V$ находится по принципу включений-исключений: он равен сумме объемов двух цилиндров ($V_{цил1}$ и $V_{цил2}$) за вычетом объема их пересечения ($V_{перес}$).

$V = V_{цил1} + V_{цил2} - V_{перес}$

1. Определение размеров цилиндров. Из рисунка видно, что деталь состоит из двух одинаковых частей цилиндров. Общая длина и высота каждого исходного цилиндра составляет 20 см. Длина прямой части до начала изгиба равна 10 см. Это означает, что радиус основания каждого цилиндра равен разнице между общей длиной и длиной прямой части: $r = 20 \text{ см} - 10 \text{ см} = 10 \text{ см}$. Длина (или высота) каждого полного цилиндра, из которых составлена деталь, равна $L = 20 \text{ см}$.

2. Вычисление объема одного цилиндра. Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 L$. По условию задачи принимаем значение $\pi \approx 3$.$V_{цил1} = V_{цил2} = 3 \cdot (10 \text{ см})^2 \cdot 20 \text{ см} = 3 \cdot 100 \text{ см}^2 \cdot 20 \text{ см} = 6000 \text{ см}^3$.Таким образом, объем каждого из двух полных цилиндров равен $6000 \text{ см}^3$.

3. Вычисление объема пересечения цилиндров. Область пересечения двух перпендикулярных цилиндров одинакового радиуса $r$ называется бицилиндром или телом Штейнмеца. Его объем вычисляется по формуле:$V_{перес} = \frac{16}{3} r^3$.Подставим в формулу значение радиуса $r = 10$ см:$V_{перес} = \frac{16}{3} \cdot (10 \text{ см})^3 = \frac{16}{3} \cdot 1000 \text{ см}^3 = \frac{16000}{3} \text{ см}^3$.

4. Вычисление общего объема детали. Теперь, используя формулу включений-исключений, найдем итоговый объем детали:$V = V_{цил1} + V_{цил2} - V_{перес} = 6000 \text{ см}^3 + 6000 \text{ см}^3 - \frac{16000}{3} \text{ см}^3$.$V = 12000 - \frac{16000}{3}$.Приведем к общему знаменателю:$V = \frac{12000 \cdot 3}{3} - \frac{16000}{3} = \frac{36000}{3} - \frac{16000}{3} = \frac{36000 - 16000}{3} = \frac{20000}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: $\frac{20000}{3}$ см$^3$.